76、希尔伯特合冲链定理的扩展

希尔伯特合冲链定理的扩展

1. 经典定理的表述

希尔伯特合冲链定理有着独特的表述。设 (A) 是域 (K) 上 (n) 个变量的多项式代数，它是一个分次代数。作为 (K) 上的向量空间，(A) 是子空间 (A_h)（(h) 为大于 0 的整数）的直和，且 (A_h) 中元素与 (A_k) 中元素的乘积在 (A_{k + h}) 中，(A_h) 中的元素是 (h) 次齐次多项式。

设 (M) 是环 (A) 上的一个模，假设 (M) 是分次的，即作为 (K) 上的向量空间，(M) 是子空间 (M_k)（(k) 为大于等于 0 的整数）的直和，并且 (M_k) 中元素与 (A_h) 中元素的乘积在 (M_{k + h}) 中。例如，若 (M) 是 (A) 的一个理想，当一个多项式属于 (M) 时，它的齐次分量也属于 (M)，这样的理想称为齐次理想。一般地，(M_k) 中的元素称为 (k) 次齐次元素。

希尔伯特定理指出：在上述假设下，选取 (M) 中的齐次元素 (m_i) 生成 (M)（不要求 (m_i) 个数有限），考虑它们之间的线性关系 (\sum_{i} m_i a_i = 0)（其中 (a_i \in A)，且只有有限个非零）。对应的系统 ((a_i)) 构成环 (A) 上的一个模 (M_1)（合冲模），该模由那些 (a_i) 为齐次且 (m_i a_i) 次数相同的系统 ((a_i)) 生成。规定这样一个系统的“次数”为 (m_i a_i) 的公共次数，可见 (M_1) 是分次模。接着可以对 (M_1) 重复上述操作，得到 (M_2) 等。希尔伯特定理表明，存在一个 (n) 使得 (M_n) 是自由模（在 (A) 上），即它有一组生成元，且这些生成元之间不存在系数不全为零的关