74、代数拓扑中的Steenrod平方与微分代数理论

代数拓扑中的Steenrod平方与微分代数理论

1. Steenrod平方的公理化理论

1.1 基本定义与i - 积系统

给定两个阿贝尔群 (G) 和 (G’)，以及一个从 (G\times G) 到 (G’) 的对称双线性映射 ((x, y)\to f(x, y))。对于单纯复形 (K)，记 (C(K, G)) 和 (C(K, G’)) 分别为 (K) 上取值于 (G) 和 (G’) 的上链的分次群。N. E. Steenrod 为 (f) 关联了一系列从 (C(K, G)\times C(K, G)) 到 (C(K, G’)) 的双线性映射 ((x, y)\to p_i(x, y))（(i) 为整数，当 (i < 0) 时 (p_i = 0)）。这些映射满足以下条件：
- (p_i(x, y)) 的次数为 (m + n - i)，其中 (m) 是 (x) 的次数，(n) 是 (y) 的次数。
- (\delta p_i(x, y)=p_i(\delta x, y)+ (- 1)^m p_i(x, \delta y) + (- 1)^{m + n + i} p_{i - 1}(x, y)+ (- 1)^{m + n+mn} p_{i - 1}(y, x))，这里 (\delta) 是上边缘算子。

一般地，考虑两个分次阿贝尔群 (A) 和 (A’)（次数非负），每个群都配备一个上边缘算子 (\delta)，满足 (\delta\delta = 0) 且使次数增加 1。再加上一系列从 (A\times A) 到 (A’) 的双线性映射 (p_i)，满足上述两个条件，则数据组 ((A, A’, p_i)) 构成一个 (i -) 积系统。