78、代数拓扑中的Eilenberg - MacLane群与相关代数结构研究

代数拓扑中的Eilenberg - MacLane群与相关代数结构研究

1. 同调代数 ( H^*( \Pi, n; \mathbb{Z}_p ) )

• 基本定义
  • 设 ( \Pi ) 为循环群（有限或无限），( \mathbb{Z}_p ) 是模 ( p )（素数）的整数域。
  • 记 ( E(m; A) ) 是以 ( (1, x) ) 为基的 ( A ) - 分次代数，其中 ( x ) 的次数为 ( m ) 且 ( x^2 = 0 )，( x ) 称为外代数 ( E(m; A) ) 的生成元。
  • 记 ( P(m; A) ) 是以 ( (1, x^{(1)}, x^{(2)}, \cdots, x^{(k)}, \cdots) ) 为基的 ( A ) - 分次代数，( x^{(k)} ) 的次数为 ( km )，乘法规则为 ( x^{(k)}x^{(h)} = \frac{(k + h)!}{k!h!} x^{(k + h)} )，( x^{(0)} = x ) 称为修正多项式代数 ( P(m; A) ) 的“生成元”。
• 代数构造
  • 当 ( A = \mathbb{Z} p ) 时，若 ( \Pi ) 是无限循环群，最终代数 ( N = E(1; \mathbb{Z}_p) ) 且微分 ( d = 0 )；若 ( \Pi ) 是 ( p^l ) 阶循环群，( N = E(1; \mathbb{Z}_p) \otimes {\mathbb{Z}_p} P