72、局部紧阿贝尔群中的对偶性理论与调和分析

局部紧阿贝尔群中的对偶性理论与调和分析

引言

本文旨在以最广泛的一般性和最少的技术技巧，阐述调和分析的基本原理。正如André Weil所指出的，需要从群论的角度来提出这个问题。不过，与Weil不同的是，我们的理论在任何时候都不需要对所考虑的群的特定结构进行假设，它能无差别地应用于任何阿贝尔群，例如可以用严格相同的方法处理经典的傅里叶级数和积分。

我们的阐述离不开I. Gelfand和D. Raïkov的基础性工作，他们揭示了正型函数在群论中的重要作用。虽然他们的研究成果远不止本文所涉及的主题，但我们在此仅将他们的方法应用于阿贝尔群，并力求在这一特定领域中充分发挥其作用。

本文并非“基础”阐述，它假设读者已经熟悉希尔伯特空间和巴拿赫空间、测度论以及群中的卷积等基本概念。因为实践证明，基础的傅里叶变换阐述往往晦涩难懂，而我们认为上述基本概念在这个问题中起着至关重要的作用。

基本概念回顾

1. 巴拿赫空间
   • 复巴拿赫空间是一个在复数域上的赋范完备向量空间。其对偶空间(E’)是(E)上所有连续线性泛函（取值为复数的连续线性函数）构成的空间，范数定义为(|f| = \sup_{|x|\leq1} |f(x)|)。
   • (E’)的一个子集是有界的，当且仅当存在(M\geq0)，使得该子集中的每个(f)都满足(|f|\leq M)。在(E’)的有界子集上，弱拓扑定义为：一个变量(f)弱收敛到(f_0)，当且仅当对于任意(x\in E)，(f(x))趋于(f_0(x))；实际上，只要对于(E)的一个稠密子集上的(x)满足该条件即可（前提是(f)的范数有