68、牛顿势中扫除理论的综合解析

牛顿势中扫除理论的综合解析

1. 扫除的基本定义与性质

在研究扫除理论时，首先从一些基础的关系入手。若(\lambda)和(\mu)是两个具有有限能量的正分布，存在关系((\lambda^{\sim}-\lambda,\mu^{\sim}) = 0)，((\mu^{\sim}-\mu,\lambda^{\sim}) = 0)。基于此，我们可以将扫除的定义扩展到(\mathfrak{M})中任意分布(\mu)的情况，而不局限于有限能量的分布。

对于任意给定的(\lambda\in\mathfrak{S})，存在唯一的(\mu\in\mathfrak{M})，使得特定条件成立。我们将满足该条件的唯一分布(\mu)定义为(\mu^{\sim})，这一定义在(\mu\in\mathfrak{S})时与旧定义是一致的。

更一般地，对于一个上调和函数(V\gt0)，存在唯一的上调和函数(W\gt0)，满足(\int Wd\lambda=\int Vd\lambda^{\sim}) 对于任意(\lambda\in\mathfrak{S})。证明其存在性时，由于(V)是递增势序列(U_{\mu_p})（(\mu_p\in\mathfrak{S})）的极限，而((\mu_p)^{\sim})的势序列是递增的，其极限(W)是上调和的，且满足上述等式。我们将这个唯一的上调和函数(W)记为(V^{\sim})，并且有(V^{\sim}(x)\lt V(x))在所有点成立。当(V = U_{\mu})（(\mu\in\mathfrak{M})）时，(V^{\sim})就是扫除分布(\mu^{\sim})的势。

对于外部扫除的情况，也有类似的特征关系：
- (\int V^{\