64、牛顿势理论：能量、容量与势序列研究

牛顿势理论：能量、容量与势序列研究

1. 引言

在研究牛顿势理论中，涉及到多个关键概念，如势、能量、容量等。这些概念相互关联，共同构成了该理论的基础。本文将深入探讨这些概念，介绍相关定理及其证明，旨在揭示牛顿势理论的核心内容和重要应用。

2. 预备知识

• 拉东测度 ：在局部紧致的拓扑空间 (E)（即“基空间”，可以是欧几里得空间或欧几里得空间中的开球）中，定义了拉东测度。正拉东测度 (\mu) 是定义在 (e^+)（(e) 是定义在 (E) 上的连续实值有限函数，且非零值点集的闭包是紧集；(e^+) 是 (e) 中取非负值的函数子集）上的实值正可加函数，且具有线性性质。实拉东测度是两个正拉东测度的差。在拉东测度集合 (\mathfrak{M}) 上定义了弱拓扑，一个滤子 (\Phi) 在 (\mathfrak{M}) 上弱收敛到元素 (\mu_0) 当且仅当对于每个 (f\in e^+)，积分 (\int f d\mu) 作为 (\mu) 的函数，沿着滤子 (\Phi) 收敛到 (\int f d\mu_0)。
• 基本函数与牛顿势 ：在 (n>2) 维欧几里得空间中，考虑牛顿势。基本函数 (f(x,y)) 根据不同情况有不同定义，如在 (k\geq3) 维欧几里得空间中 (f(x,y)=|x - y|^{2 - k})，在以 (O) 为中心、半径为 (R) 的开球中，(k = 2) 时 (f(x,y)=\log\frac{|R^2 - \overline{x}y|}{R|x - y|})，(k\geq3) 时 (f(x,y)=|x - y|^{2 - k}-(R