60、函数类的定义、等价性及相关定理研究

函数类的定义、等价性及相关定理研究

1. 函数类的定义

设 ${A_n}$ 是一个由有限或无限正数构成的序列（$n = 0, 1, \cdots$）。对于在区间 $I$ 上有定义且可无限求导的实函数 $f(x)$，若满足 $\lim_{n \to \infty} \frac{M_n}{A_n} < +\infty$，其中 $M_n$ 是 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数在区间 $I$ 上的上确界，则称 $f(x)$ 属于 ${A_n}$ 类。

这里采用了一种稍有不同的定义：若存在正数 $K$ 和 $p$，使得对于区间 $I$ 内靠近某点 $x_0$ 的所有 $x$，不等式 $|f^{(n)}(x)| \leq K p^n A_n$ 成立，则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 属于 ${A_n}$ 类；若 $f(x)$ 在区间 $I$ 的每一点都属于 ${A_n}$ 类，则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上属于 ${A_n}$ 类。当区间 $I$ 是紧致（即有限且闭）时，此定义与原定义一致；在其他情况下，尤其是像 $(-\infty, +\infty)$ 这样的区间，二者有所不同。

特别地，当 $A_n = n!$ 时，函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上解析（即在区间 $I$ 的每一点都解析）的充要条件是 $f(x)$ 在该区间上属于 ${n!}$ 类（按此处新定义）。

2. 函数类的等价性问题

Carleman 提出的函数类等价性问题是：给出两个序列 ${A_n}$ 和 ${A_n’}$ 所定义的函数类相等的充要条件；更一般地，给出 ${A_n}$ 类包含于 ${A_n’}$ 类的充要条件。

原则上，对于