59、可无限求导函数类的卡尔曼问题解决方案

可无限求导函数类的卡尔曼问题解决方案

在函数分析领域，卡尔曼问题一直是一个重要的研究方向，它主要关注的是如何确定两个函数类之间的包含关系。本文将深入探讨可无限求导函数类的卡尔曼问题，并给出针对不同类型区间（开区间、闭区间和半开区间）的解决方案。

1. 基本概念

首先，我们需要明确一些基本概念。给定一个正实数序列 ${A_n}$（$n = 1, 2, …$），若一个实函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可无限求导，且对于 $I$ 中的每个点 $x_0$，都能找到一个邻域 $V(x_0)$ 和一个有限正数 $\lambda > 0$，使得对于所有属于 $I$ 和 $V(x_0)$ 的点 $x$，满足不等式 $|f^{(n)}(x)| \leq \lambda^n A_n$（$n = 1, 2, …$），则称函数 $f(x)$ 属于类 ${A_n}_I$。

当区间 $I$ 为有界闭区间时，这个定义与哈达玛 - 当儒瓦的经典定义一致。而对于任意区间 $I$，一个函数 $f$ 属于类 ${A_n} I$ 当且仅当它在 $I$ 的每个紧致子区间 $I’$ 上都属于类 ${A_n} {I’}$。

卡尔曼问题的核心是：给定一个区间 $I$，两个序列 ${A_n}$ 和 ${A’_n}$ 需要满足什么条件，才能使类 ${A_n}_I$ 包含于类 ${A’_n}_I$？

2. 指数正则化方法

为了解决卡尔曼问题，我们引入两种指数正则化方法。对于 $r \geq 1$，定义两个函数 $S(r)$ 和 $U(r)$ 如下：
- $S(r) = \max_{n \leq r} \frac{r^n}{A_