49、代数拓扑与层论基础：从Tor群到层与模的深入剖析

代数拓扑与层论基础：从Tor群到层与模的深入剖析

1. 定理1.2的证明

首先假设存在如下正合序列：
- (0 \to B_1 \to A_0 \to M \to 0)
- (0 \to B_2 \to A_1 \to B_1 \to 0)

其中 (A_0, \cdots, A_{P - 1}) 和 (B_P) 是自由的（不一定是有限型）。通过类似的推理，可以得到：
(Tor_{n + 1}^R(M, K) \cong Tor_n^R(B_1, K) \cong \cdots \cong Tor_1^R(B_p, K) = 0)
所以 (Tor_{n + 1}^R(M, K) = 0)。

现在考虑定理2中所述的正合序列（其中 (X_i)（(i \leq p - 1)）是具有有限基的自由模），设 (Y_P) 是 (X_{p - 1} \to X_{p - 2})（当 (p = 1) 时，是 (X_0 \to M)）的核。同样的推理表明：
(Tor_{n + i}^R(M, K) \cong Tor_1^R(Y_p, K))
进而 (Tor_1^R(Y_p, K) = 0)。根据引理2，(Y_P) 是自由的，从而定理1.2得证。

2. 预层、层与层空间

• 基本概念
  • 预层 ：设 (T) 是一个拓扑空间。一个 (T) 上的阿贝尔群预层 (G) 定义为：对于 (T) 的每个开集 (U)，指定一个阿贝尔群 (G(U))；对于任意满足 (V \subseteq U) 的开集