46、复多变量函数与解析空间：理论与应用

复多变量函数与解析空间：理论与应用

1. 初步概念

在很长一段时间里，复多变量解析函数仅在数值空间 $\mathbb{C}^n$（$\mathbb{C}^n$ 指其点的坐标为 $n$ 个复数的空间）的开集中被研究。近年来，人们开始系统地研究解析（复）流形，如今，解析流形的概念已为所有数学家所熟知。

简单来说，复维数为 $n$ 的解析流形是一个分离的拓扑空间，在其每一点的邻域内，我们给定了一个或多个“局部坐标”（复）系统，其数量为 $n$，从一个局部坐标系到另一个局部坐标系的转换通过全纯变换实现。

对于解析流形 $X$ 的任意开集 $U$，我们有 $U$ 上全纯函数的概念（若在 $U$ 的每一点的邻域内，$f$ 都可以表示为局部坐标的全纯函数，则称 $f$ 在 $U$ 上全纯）。$U$ 上的全纯函数构成一个环 $\mathcal{O}(U)$。需要注意的是，全纯函数的概念具有局部性：一个在 $U$ 上连续的函数 $f$ 在 $U$ 上全纯，当且仅当 $f$ 限制在 $U$ 的一个开覆盖的每个开集 $O_i$ 上在 $O_i$ 上全纯。

这就引出了在每一点 $x \in X$ 处考虑全纯函数的“芽”的环 $\mathcal{O}_x$（该环是包含 $x$ 的开集 $U$ 对应的环 $\mathcal{O}(U)$ 的归纳极限）。对于每一点 $x \in X$，环 $\mathcal{O}_x$ 的知识完全确定了 $X$ 的解析流形结构。

精确地说，假设对于一个分离的拓扑空间 $X$ 的每一点 $x$，给定了一个连续函数（取值为复数）的芽的环的子环 $\mathcal{O}_x$（此时我们称 $X$ 是一个带环空间）。为了使 $X$ 上存在一个维