43、实解析子集的结构与不可约分量研究

实解析子集的结构与不可约分量研究

在数学领域，实解析子集的结构和性质一直是重要的研究方向。本文将深入探讨实解析子集的相关概念、定理以及不可约分量的特性，并通过具体例子进行说明。

实解析子集的基本概念

设 $\Omega$ 是 $R^n$ 空间中的一个开集。若对于 $\Omega$ 中的任意一点 $a$，都存在 $a$ 的一个开邻域 $U$ 以及 $U$ 上的有限个实解析函数 $f_i$，使得 $E \cap U$ 是 $U$ 中所有 $f_i$ 同时为零的点的集合（即 $E \cap U$ 是函数 $f = \sum_{i}(f_i)^2$ 的零点集），则称 $E$ 是 $\Omega$ 中的实解析子集。

在点 $a$ 处的解析芽的概念是明确的，每个解析芽都可以唯一地分解为有限个不可约解析芽。设 $E_a$ 是点 $a$ 处的解析芽，将 $R^n$ 嵌入到 $C^n$ 中，记 $\widetilde{E}_a$ 为 $C^n$ 中包含 $E_a$ 的最小复解析芽。$\widetilde{E}_a$ 的不可约分量是 $E_a$ 的不可约分量的复化。$E_a$ 的维数定义为 $\widetilde{E}_a$ 的不可约分量的最大复维数。若 $E$ 是 $\Omega$ 的一个解析子集，则 $E$ 的维数定义为 $E$ 在 $\Omega$ 中各点诱导的解析芽的维数的上确界。

记 $V_p(E)$ 为 $E$ 中使得 $E$ 是 $p$ 维解析子流形的点的集合。已知若 $\dim E_a = p$，则点 $a$ 是 $V_p(E)$ 的聚点，并且存在 $a$ 的一个开邻域 $U$ 以及 $U$ 中的一个维数小于 $p$ 的解析子集 $S$（可能为空），使得 $S \