29、工程等几何分析：边界条件、约束与方程求解及计算机辅助几何设计工具

工程等几何分析：边界条件、约束与方程求解及计算机辅助几何设计工具

在工程分析领域，等几何分析（IGA）是一种强大的方法，它涉及到诸多关键技术，如边界条件的处理、约束方程的建立、方程的求解以及计算机辅助几何设计（CAGD）工具的运用。下面将详细介绍这些方面的内容。

1. 边界条件处理

在处理边界条件时，有多种方法可供选择。对于狄利克雷边界条件（Dirichlet boundary condition），可以通过矩阵修改的方式使其对应的方阵变为非奇异矩阵。这种方法存储在 enforce essential BC.m 函数中，相关的惩罚方法则在 enforce MPC equations.m 函数里。如果需要在后期处理中恢复反应数据 $r_j$，则必须保存 $S$ 和 $c$ 的原始第 $j$ 行。

对于本质边界条件（EBC），还可以采用惩罚方法。设 $d_j$ 为要指定 EBC 的自由度，例如 $d_j = b$。惩罚方法通过改变控制矩阵系统中的两个项来满足 EBC，同时保持原始矩阵的大小和方程顺序不变。具体来说，将源向量的第 $j$ 行修改为 $c_j = R bS_{j,j}$，对角项修改为 $S_{j,j} = R S_{j,j}$，其中 $R$ 是一个非常大的数。当惩罚项 $R$ 趋近于无穷大时，数值解会趋近于 $d_j = b$。$R$ 的实际取值取决于硬件字长，通常可以取 $R = 10^5 × max[S]$。

2. 多点约束（MPCs）

在 IGA 模拟中，多点约束（MPCs）是常见的情况。例如，分析斜率的施加可能会转化为涉及两个分析点（AP）位移值的约束。对于线性