25、瞬态与动态解决方案分析

瞬态与动态解决方案分析

1. 广义梯形算法

1.1 算法基础

广义梯形算法常用于求解瞬态问题。以Hilbert - Hughes - Taylor α方法为例，它推广了梯形单步时间方法。在该算法中，会得到一个更新后的方阵：
[ [S] = ([M]/\Delta t + \beta[K]) ]
其中，([M]) 是质量矩阵，([K]) 是刚度矩阵，(\Delta t) 是时间步长，(\beta) 是算法常数。

每个时间步更新的源向量为：
[ {f} n = ([M]/\Delta t + (\beta - 1)[K]){T} {n - 1} + (1 - \beta){p}_{n - 1} + \beta{p}_n ]

由此组合得到每个时间步需要求解的线性矩阵系统：
[ [S]{T}_n = {f}_n ]

1.2 时间步长与计算特性

只要时间步长 (\Delta t) 保持不变，线性系统方阵 ([S]) 的计算密集型组装和分解（或求逆）只需进行一次。而源向量 ({f}_n) 则必须在每个时间步进行更新。将 ({f}_n) 代入 ([S]) 的分解式进行前后向替换的计算相对便宜且快速。

1.3 算法常数 (\beta) 的常见选择

(\beta) 值	方法名称	稳定性
0	条件