18、几何变换：从基础到高级的全面解析

几何变换：从基础到高级的全面解析

1. 平移与旋转组合变换

在图像处理和计算机图形学中，平移和旋转是常见的几何变换操作。当我们先对原点进行平移，再进行角度为 $\theta$ 的旋转时，会得到正向和反向变换的方程。

正向变换方程为：
[
\begin{bmatrix}
x’ \
y’ \
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta & t_x \cos \theta - t_y \sin \theta \
\sin \theta & \cos \theta & t_x \sin \theta + t_y \cos \theta \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x \
y \
1
\end{bmatrix}
\Leftrightarrow
x’ =
\begin{bmatrix}
R & t_{TR} \
0^T & 1
\end{bmatrix}
\cdot x
]
其中，$R$ 是旋转矩阵，$t_{TR} = [t_x \cos \theta - t_y \sin \theta, t_x \sin \theta + t_y \cos \theta]^t$ 是平移向量。

反向变换方程为：
[