11、矩形函数变换与基于特征向量和特征值的变换

矩形函数变换与基于特征向量和特征值的变换

1. 哈达玛变换应用

哈达玛变换在图像处理中有着重要应用。通过对系数进行滤波，使用不同的绝对值阈值（如10、20和30）来重建图像，会得到不同的数据损失情况。具体如下表所示：
| 阈值 | 均方根误差（rms） | 零系数百分比 |
| ---- | ---- | ---- |
| 10 | 2.85% | 55.5% |
| 20 | 4.7% | 81% |
| 30 | 6.4% | 89.8% |

从这些数据可以看出，随着阈值的增大，均方根误差和零系数百分比都在增加，这意味着数据损失在增大。

2. 沃尔什 - 哈达玛离散变换（DWHT）

• 原理 ：哈达玛矩阵可以通过对一类称为沃尔什函数的矩形函数进行采样生成。沃尔什函数取值为 +1 或 -1，构成了完备的正交基函数。因此，哈达玛变换在文献中也被称为沃尔什 - 哈达玛变换。
• 一维变换方程 ：
  • 正向变换：
    [F_{HW}(u) = \frac{1}{N}\sum_{j = 0}^{N - 1}f(j)\prod_{i = 0}^{n - 1}(-1)^{b_i(j)b_{n - 1 - i}(u)}]
  • 反向变换：
    [f(j) = \frac{1}{N}\sum_{u = 0}^{N - 1}F_{HW}(u)\prod_{i = 0}^{n - 1}(-1)^{b_i(j)b_{n - 1 - i}(u)}]
    其中