10、图像线性变换：从离散余弦到哈达玛变换

图像线性变换：从离散余弦到哈达玛变换

1. 引言

在数字图像处理中，线性变换是一种强大的工具，它可以将图像从空间域转换到频域，从而更方便地进行分析和处理。不同的线性变换具有不同的特点和应用场景。本文将详细介绍几种常见的线性变换，包括离散余弦变换（DCT）、离散正弦变换（DST）、离散哈特利变换（DHT）和哈达玛变换（DHaT）。

2. 离散余弦变换（DCT）

2.1 定义与原理

离散余弦变换（DCT）将信号或图像表示为不同幅度和频率的正弦波之和。对于一维输入序列 (f(j))，其 DCT 定义为：
[Fc(u) = c(u) \sum_{j=0}^{N - 1} f(j) \cos\left(\frac{\pi(2j + 1)u}{2N}\right)]
其中 (u = 0, 1, \cdots, N - 1)，(c(u)) 定义如下：
[c(0) = \sqrt{\frac{1}{N}} \quad \text{且} \quad c(u) = \sqrt{\frac{2}{N}} \quad (u = 1, 2, \cdots, N - 1)]
一维 DCT 的逆变换为：
[f(j) = \sum_{u=0}^{N - 1} c(u)Fc(u) \cos\left(\frac{\pi(2j + 1)u}{2N}\right)]
对于二维情况，DCT 定义为：
[Fc(u, v) = c(u)c(v) \sum_{j=0}^{N - 1} \sum_{k=0}^{N - 1} f(j, k) \cos\left(\frac{\pi(2j + 1)u}{2N}\right) \cos\