20、高效求和算法：提升数值准确性、收敛速度与可重复性

高效求和算法：提升数值准确性、收敛速度与可重复性

在数值计算领域，求和算法的准确性、收敛速度和可重复性至关重要。本文将介绍一种高效的求和算法，并通过多个实例展示其在不同数值方法中的优势。

算法 1：各处理器局部求和的精确求和算法

算法 1 的主要目的是在每个处理器上进行局部求和，最终得到总和。以下是算法的具体步骤：

1: 初始化数组 sum by exp
2: total sum = 0.0
3: for i = 0 : p row do
    ▷ p row: 每个处理器的行数
4:
    exp s i = getExp(s[i]) + bias
    ▷ getExp: 用于计算指数的函数
5:
    以 2 为基数
6:
    sum by exp[exp s i] = sum by exp[exp s i] + s[i]
7: local sum = 0.0
    ▷ 按指数递增顺序进行局部求和
8: for i = 0 to exp max - exp min + 1 do
9:
    local sum = local sum + sum by exp[i]
    ▷ 处理器 0 计算总和
10: MPI Reduce(&local sum, &total sum, 1, Mpi float, Mpi sum, 0, Mpi comm world)

该算法的复杂度为 $O(n)$，因为不需要进行排序，且只对要求和的数据访问一次。此外，还有一种对算法 1 的改进实现，其求和结果更准确，但复杂度的常数项更高。

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