张正友标定法：A Flexible New Technique for Camera Calibration

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原创最新推荐文章于 2026-09-25 10:24:41 发布 4.1k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

【MQ笔记】张氏标定法学习笔记：A Flexible New Technique for Camera Calibration详解张定友教授于2000年发表在IEEE TRANSACTIONSANALYSIS AND MACHINE INTELLIGENCE上的论文A Flexible New Technique for Camera Calibration中提出了著名的张氏标定法，该方法现在已经成为机器视觉领域的重要基础。虽然现在已经有很多成熟的函数或程序可以非常便捷的实现相机标定，但是吃透相关内容对理解相机矫... 阅读详情

张正友标定法：A Flexible New Technique for Camera Calibration

Abstract
MOTIVATIONS
BASIC EQUATIONS
SOLVING CAMERA CALIBRATION

Abstract

It only requires the camera to observe a planar pattern shown at a few (at least two) different orientations.
Either the camera or the planar pattern can be freely moved
Radial lens distortion is modeled
The proposed procedure consists of a closed-form solution(闭式解即解析解), followed by a nonlinear refinement based on the maximum likelihood criterion.

MOTIVATIONS

在张氏标定法被提出之前，将已有的标定方法大致分为两类：
摄影测量标定：通过观察校准对象来执行相机校准，该校准对象在3D空间中的几何形状已知且具有非常好的精度。这种方法需要昂贵的校准装置和精心设置。
自标定：在静态场景中移动摄像机，拍摄三幅图片，这种方法很简便，但是并不成熟，标定结果不可靠。
张氏标定法则使用2D度量信息，位于使用显式3D模型的摄影测量标定和使用运动刚度或等效隐式3D信息的自标定之间。

BASIC EQUATIONS

Notation

根据相机的小孔成像模型，将世界坐标系和像素坐标系写成等式(1), 关于世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系之间的空间及数学关系，请参考这篇文章。
在这里插入图片描述

其中：
s是一个任意的尺度因子。
[R t]是相机的外参矩阵，它是世界坐标系到相机坐标系之间的转换参数，世界坐标系通过旋转、平移可以转换到相机坐标系。R是旋转矩阵，t是平移矩阵。
A是相机的内参矩阵，(u₀,v₀)是图像坐标系的原点坐标在像素坐标系上的值；, alpha和beta是在像素坐标系下u轴和v轴上的尺度因子；gamma是描述两个图像轴偏斜的参数。
在这里插入图片描述

Homography between the Model Plane and Its Image

假设标定板所在的平面为世界坐标系的Z=0的平面，这是张氏标定法简化标定流程的重要一步。
在这里插入图片描述
引入单应性矩阵H：

1.单应性矩阵H大小是3 by 3的，并且是一个齐次矩阵，因为其中包含一个齐次坐标，因此存在8个未知数，至少需要8个方程才能求解.
2.根据等式(2)，当给定一对单应性对应点的时候，能够得到两个方程.
3.因此至少需要四个对应点，建立8个方程，就可以算出世界坐标系平面到像素坐标系平面的单应性矩阵H.

Constraints on the Intrinsic Parameters

给定平板模型的一幅图像，把s移到等式右边，记单应性矩阵H=[h₁ h₂ h₃]
在这里插入图片描述
这里有这样一些前提条件及其推导：
(1) lamda = 1/s
(2)A是可逆的，因此
r₁=A^-1h₁/lamda
r₂=A^-1h₂/lamda
(3)旋转矩阵是一个酉矩阵，r₁与r₂正交，因此
r₁^Tr₂=0
||r₁||=||r₂||=1，即r₁^Tr₁=r₂^Tr₂
综上，推导出上面的(3)和(4)式。
每个单应性矩阵H可以提供两个方程，而内参矩阵包括5个参数，要求解内参矩阵A，至少需要三个单应性矩阵
为了得到三个不同的单应性矩阵，我们至少调整标定板两次，即至少获得三幅棋盘格平面的图片进行标定。

SOLVING CAMERA CALIBRATION

We start with an analytical solution,followed by a nonlinear optimization technique based on the maximum-likelihood criterion. Finally, we take into account lens distortion, giving both analytical and nonlinear solutions.

Closed-Form Solution

在这里插入图片描述

如果观察到模型平面的n个图像，则通过堆叠n个这样的等式(8)，我们可以得到：

这里V是一个2n by 6的矩阵。
如果是n >=3，我们通常会得到一个唯一的解b，其定义为比例因子。
如果n=2，我们可以强加无偏约束gamma=0,即[0,1,0,0,0,0]b=0,作为(9)的附加等式,也可以解出b。
如果n = 1，我们只能求解出相机的两个内参，例如，假设u₀和v₀是已知的（比如图像坐标系原点在像素坐标系的中心），并且假设gamma=0，这样就可以求得alpha和beta。
一旦b被求解出来，我们就可以计算所有的相机内参,矩阵B可以被写成：
在这里插入图片描述
其中，lamda是一个任意大小的尺度因子，因此可以从矩阵B中唯一地提取内参。

一旦知道内参矩阵A，就可以容易地计算外部参数。根据等式(2)，我们有
r₁=A^-1h₁/lamda
r₂=A^-1h₂/lamda
r₃=r₁×r₂
t=A^-1h₃/lamda
其中，lamda=||A^-1h₁||=||A^-1h₂||

Maximum-Likelihood Estimation

上述的推导结果是基于理想情况下的解，但由于可能存在高斯噪声，所以使用MLE进行优化。设我们采集了n副包含棋盘格的图像进行标定，每个图像里有棋盘格角点m个。令第i副图像上世界坐标系下的角点M_ij在上述计算得到的内参A，外参R和t下，在像素坐标系下的投影点为：
在这里插入图片描述
其中R_i和t_i是第i副图对应的旋转矩阵和平移向量。则角点m_ij的概率密度函数为：

构造似然函数：

MLE使得目标函数L取得最大值，等价于最小化如下函数：

最小化式(10)是一个非线性最小化问题，可以利用LM算法求解，初始值设置为上面的不精确的解，然后逐步迭代找到最优解。关于LM算法，请参考我的另一篇博客LM(Levenberg–Marquardt)算法原理及其python自定义实现

Radial lens distortion estimation

摄像机通常具有显性的镜头失真，尤其是径向畸变。张氏标定法只关注了影响最大的径向畸变。去除高阶，镜像畸变的数学模型可以用如下的等式描述:
在这里插入图片描述
其中(x,y)是理想的无畸变的归一化图像坐标系坐标，(x_hat,y_hat)是畸变后的归一化图像坐标系坐标，k₁和k₂表示前两阶径向畸变系数。

而径向畸变的中心和相机的主心是在相同的位置，因此有：
在这里插入图片描述
其中，(u,v)是理想的无畸变像素坐标系坐标，(u_hat,v_hat)是畸变后的像素坐标系坐标，(u₀,v₀)是相机的主点。
假设gamma=0，则有：

写成矩阵形式：

上面的等式是从一幅图像上的一个点取得，仍然设有n幅图像，每幅图像上有m个点，则将得到的所有等式组合起来，可以得到2mn个等式，将其记成矩阵形式：
在这里插入图片描述
求解出畸变参数k：

同样使用MLE，用LM算法最小化如下目标函数：

得到畸变参数k1,k2后，可以先将图像进行去畸变处理，然后用去畸变后的图像坐标估计相机的内参数，继而算出外参数。