数论专题——Dirichlet卷积及积性函数初步

Dirichlet卷积定义

若有两个函数$f$与$g$，则其$Dirichlet$卷积为($\ast$为卷积，为避免混淆，乘号用$\times$表示)
$$f(n)\ast g(n)=\sum _{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$$

性质

简单性质

交换律：$f\ast g=g\ast f$

结合律：$(f\ast g)\ast h=f\ast (g\ast h)$

分配律：$f\ast (g+h)=f\ast g+f\ast h$

单位元

定义元函数：$ϵ(n)=[n=1]$

其中$[a]$指如果$a$为真，其值为1，反之则为0。

所以$f\ast ϵ=ϵ\ast f=f$

证明：$$f(n)\ast ϵ(n)=\sum _{d|n}f(d)ϵ(\frac{n}{d})$$
$$\because 当\frac{n}{d}\ne 1时⟹ϵ(\frac{n}{d})=0⟹f(d)ϵ(\frac{n}{d})=0$$
$$\therefore f(n)\ast ϵ(n)=\sum _{d|n且d\ne n}f(d)ϵ(\frac{n}{d})+f(n)ϵ(1)=f(n)$$

积性函数

对于一个函数$f$，若对于所有互质的正整数$a,b$，均有$f(ab)=f(a)f(b)$，则$f$为一个积性函数。

数学语言：对于函数$f$，若对于$\forall a,b\in N^{+},gcd(a,b)=1$，都有$f(ab)=f(a)f(b)$，则$f$为一个积性函数。

好处：便于快速处理函数值

性质：对于两个积性函数$f,g$，$f\ast g$也为积性函数

常见的积性函数

1.除数函数：$n$的约数的$k$次幂之和，${\sigma }_k(n)={\sum }_{d|n}{d}^k$。

2.约数个数函数：$n$的约数个数，$d(n)={\sigma }_0(n)={\sum }_{d|n}1$。

3.约数和函数：$n$的所有约数之和，$\sigma (n)={\sigma }_1(n)={\sum }_{d|n}d$。

4.欧拉函数：$[1,n]$中与$n$互质的数的个数，$\varphi (n)=\phi (n)={\sum }_n^{i=1}[gcd(i,n)=1]$。

5.莫比乌斯函数：定义式：

对于一个数$n$， { ∑ d ∣ n μ ( d ) } = [ n = 1 ] \{\sum_{d|n}\mu(d)\}=[n=1] {∑d∣n​μ(d)}=[n=1]

当$n$不等于$1$时，$n$所有因子的莫比乌斯函数值的和为$0$

求解该递归式：$$\mu (n)=\{\begin{array}{r}0n有平方因子\\ (-1{)}^{t}otherwise\end{array}$$
其中$t$为$n$质因子个数

6.元函数：$ϵ(n)=[n=1]$。

7.幂函数：$n$的$k$次方。$I{d}_k(n)=n^k$。

8.恒等函数：$I(n)=I{d}_0(n)=1$。

9.单位函数：$Id(n)=I{d}_1(n)=n$。

一些恒等式

$$I(n)\ast I(n)=\sum _{d|n}I(d)I(\frac{n}{d})=\sum _{d|n}1=d(n),即I\ast I=d$$
$$Id(n)\ast I(n)=\sum _{d|n}Id(d)I(\frac{n}{d})=\sum _{d|n}d=\sigma (n),即Id\ast I=\sigma$$
$$\mu (n)\ast I(n)=\sum _{d|n}\mu (d)I(\frac{n}{d})=\sum _{d|n}\mu (d)=ϵ(n),即\mu \ast I=ϵ$$
由$\phi$的定义知，它还可以表示分母为$n$的最简真分数个数。
所以列出分数$\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},...,\frac{n}{n}$，再约分，以分母分别统计可得
$$\phi (n)\ast I(n)=\sum _{d|n}\phi (d)I(\frac{n}{d})=\sum _{d|n}\phi (d)=n=Id(n),即\phi \ast I=Id$$
$$\because \phi \ast I=Id$$
$$\therefore \phi \ast I\ast \mu =Id\ast \mu$$
$$\therefore \phi \ast ϵ=Id\ast \mu$$
$$\therefore \phi =Id\ast \mu$$