《统计学习方法》第四章朴素贝叶斯学习笔记

朴素贝叶斯法是典型的生成学习方法。生成方法由训练数据学习联合概率分布$P(X,Y)$，然后求得后验概率分布$P(Y|X)$。具体是利用训练数据学习$P(X|Y)$和$P(Y)$的估计，得到联合概率分布：$P(X,Y)=P(Y)P(X|Y)$。
朴素贝叶斯法的基本假设是条件独立性：

$$\begin{eqnarray*}P(X=x|Y=c_k)&=&P(X^{(1)}=x^{(1)},\cdots,X^{(n)}=x^{(n)}|Y=c_k)\\ & = & \prod_{j=1}^n{P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)} \end{eqnarray*}$$
这是一个较强的假设。由于这一假设，模型包含该的条件概率的数量大为减少，朴素贝叶斯法的学习与预测大为简化。因而朴素贝叶斯法高效，且易于实现。其缺点是分类的性能不一定很高。
朴素贝叶斯法利用贝叶斯定理与学到的联合概率模型进行分类预测。
$$P(Y|X)=\frac{P(X,Y)}{P(X)}=\frac{P(Y)P(X|Y)}{\sum\limits_YP(Y)P(X|Y)}$$

一、极大似然估计

估计两部分参数，先验概率$P(Y=c_k)$和条件概率$P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$。
1. 先验概率$P(Y=c_k)$的极大似然估计是：

$$P(Y=c_k)=\frac{\sum\limits_{i=1}^NI(y_i=c_k)}{N},k=1,2,\cdots,K$$
2. 设第j个特征 $x^{(j)}$可能取值的集合为 $\{a_{j1},a_{j2},\cdots,a_{jS_j}\}$， 条件概率 $P(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)$的意义是在某一类 $Y=c_k$的条件下，x的第j个分量特征取值 $a_{jl}$的概率。
$$P(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)=\frac{{\sum\limits_{i=1}^NI(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)}}{\sum\limits_{i=1}^NI(y_i=c_k)}$$
$$j=1,2,\cdots,n;l=1,2,\cdots,S_j;k=1,2,\cdots,K$$
上式中， $x_i^j$是第i个样本的第j个特征； $a_{jl}$是第j个特征可能取的第l个值； $I$为指示函数。总的需要估计的参数数量为：$k\sum_{j=1}^nS_j$。

二、学习与分类算法

（1）计算先验概率和条件概率

$$P(Y=c_k)=\frac{\sum\limits_{i=1}^NI(y_i=c_k)}{N},k=1,2,\cdots,K$$
$$P(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)=\frac{{\sum\limits_{i=1}^NI(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)}}{\sum\limits_{i=1}^NI(y_i=c_k)}$$
$$j=1,2,\cdots,n;l=1,2,\cdots,S_j;k=1,2,\cdots,K$$
（2）对于给定的实例 $x=(x^{(1)},x^{(2)},\cdots,x^{(n)})^T$，计算
$$P(Y=c_k)\prod_{j=1}^nP(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k),k=1,2,\cdots,K$$
（3）确定实例x所属的类
$$y=\mathop{argmax}_{c_k}P(Y=c_k)\prod_{j=1}^nP(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$$

书中的一个例子：

三、贝叶斯估计

极大似然估计时参数会产生0频问题，会影响到后验概率的计算结果，使分类产生偏差。采用贝叶斯估计可以解决这个问题。
先验概率的贝叶斯估计是：

$$P_\lambda(Y=c_k)=\frac{ \displaystyle{\sum_{i=1}^NI(y_i=c_k)}+\lambda}{N+K\lambda}$$
上式中， $K$表示类别数目。
条件概率的贝叶斯估计是：
$$P_\lambda(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)=\frac{{ \sum\limits_{i=1}^NI(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)}+\lambda}{ \sum\limits_{i=1}^NI(y_i=c_k)+S_j\lambda}$$
上式中， $S_j$表示第 $j$个特征的取值个数。
以上两个公式中，当$\lambda=0$时就是极大似然估计。常取 $\lambda=1$，这时称为拉普拉斯平滑。

例子：