矩阵论笔记（七）——矩阵的微分和积分

对矩阵求微分和积分，就是对其每个元素求微分和积分。

定义

• 导数：矩阵 $A(t) = (a_{ij}(t))_{m\times n}$ 的每个元素可微，则称 $A(t)$ 可微，其导数（微商）定义为 $A'(t) = \frac{\text{d}}{\text{d}t} A(x) = (\frac{\text{d}}{\text{d}t} a_{ij}(t))_{m\times n}$；
• 积分：如果 $A(t)$ 的每个元素都是 $[t_0, t_1]$ 上的可积函数，则定义 $A(t)$ 在 $[t_0, t_1]$ 上的积分为 $\int_{t_0}^{t_1} A(t) \text{d}t = (\int_{t_0}^{t_1} a_{ij}(t) \text(d)t)_{m \times n}$；
• 连续性：
  
  • 当 $a_{ij}(t)$ 在 $[t_0,t_1]$ 上连续时，称 $A(t)$ 在 $[t_0,t_1]$ 上连续，且有 $\frac{\text{d}}{\text{d}t} \int_a^t A(s) \text{d}s = A(t)$；
  • 当 $a_{ij}'(t)$ 都在 $[t_0,t_1]$ 上连续时，$\int_a^b A'(t) \text{d}t = A(b) - A(a)$。

定理

以下是矩阵微分和积分的运算规则，可自行证明：

定理一：

（1）$\frac{\text{d}}{\text{d}t} (A(t) + B(t)) = \frac{\text{d}}{\text{d}t} A(t) + \frac{\text{d}}{\text{d}t} B(t)$；
（2）$\frac{\text{d}}{\text{d}t}(A(t) B(t)) = B(t) \cdot \frac{\text{d}}{\text{d}t} A(t) + A(t) \cdot \frac{\text{d}}{\text{d}t} B(t)$；
（3）$\frac{\text{d}}{\text{d}t} (a A(t)) = \frac{\text{d} a}{\text{d}t} \cdot A(t) + a \frac{\text{d}}{\text{d}t} A(t)$。

定理二：

（1）$\frac{\text{d}}{\text{d}t} e^{tA} = Ae^{tA} = e^{tA} A$；
（2）$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \cos (tA) = -A (\sin(tA)) = -(\sin(tA))A$；
（3）$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \sin(tA) = A(\cos(tA)) = (\cos(tA))A$。

定理三：

（1）$\int_{t_0}^{t_1} (A(t) + B(t)) \text{d}t = \int_{t_0}^{t_1} A(t) \text{d}t + \int_{t_0}^{t_1} B(t) \text{d} t$；
（2）$\int_{t_0}^{t_1} A(t) B \text{d}t = (\int_{t_0}^{t_1} A(t) \text{d}t) B$（$B$ 与 $t$ 无关）；
（3）$\int_{t_0}^{t_1} A \cdot B(t) \text{d}t = A(\int_{t_0}^{t_1} B(t) \text{d} t)$（$A$ 与 $t$ 无关）。