酉空间是定义在复数域上的内积空间。
由于在复数中,i2=−1,为了使内积为正,需要在转置中加入了共轭的操作。这是酉空间与实数域的欧氏空间的主要区别。二者有一套平行的理论。
定义
(1)酉空间:复数域上的 V 定义两向量到复数的对应关系
(2)正规矩阵:
(3)谱分解:由以下定理三,对于 Hermite 矩阵 A,存在酉矩阵
(4)对应关系:① 共轭转置 →对应 转置,② Hermite 变换 →对应 对称变换,③ Hermite 矩阵 →对应 对称矩阵,④ 酉变换 →对应 正交变换,⑤ 酉矩阵→对应 正交矩阵。
定理
(1)定理一:由内积定义,可直接得到:
① (x,ky)=k⎯⎯(x,y).
② (x,0)=(0,x)=0.
③ (∑ni=1ξixi, ∑ni=1ηiyi)=∑ni=1ξiη⎯⎯i(xi,yi).
④ 模:∥x∥=(x,x)‾‾‾‾‾√.
⑤ 三角不等式:(x,y)(y,x)≤(x,x)(y,y),仅当 x,y 线性相关时等号成立.
⑥ 夹角:cos2<x,y>=(x,y)(y,x)(x,x)(y,y),当 (x,y)=0 时称二者正交/垂直.
⑦ 正交化:任意线性无关向量组可通过 Schmidt 正交化方法正交化.
⑧ 正交基:任意非零酉空间都存在正交基和标准正交基.
⑨ 直和:任意 Vn 均为其子空间 V1 与 V⊥1 的直和.
⑩ 酉变换:(x,x)=(Tx,Tx) (x∈V).
⑪ 酉变换充要条件:T 是酉变换的充要条件是对任意
⑫ 酉矩阵:酉变换在酉空间的标准正交基下的矩阵是酉矩阵,即 AHA=AAH=I.
⑬ 酉矩阵运算:酉矩阵的逆矩阵、乘积仍是酉矩阵.
⑭ Hermite 变换:(Tx,y)=(x,Ty) (x,y∈V),也称为酉对称变换.
⑮ Hermite 矩阵:Hermite 变换在标准正交基下的矩阵为 Hermite 矩阵,即 AH=A.
⑯ 特征值:Hermite 矩阵的特征值都是实数.
⑰ 特征向量正交:Hermite 矩阵的不同特征值的特征向量必定正交.
注意:(x,y) 与 (y,x) 互为共轭。
(2)定理二:(Schur 定理)① 任一复矩阵必酉相似于三角阵,对角元素为其 n 个特征值,② 任一实矩阵必正交相似于三角阵,对角元素为其
(3)定理三:① A∈Cn×n,则 A 酉相似于对角阵的充要条件是
(4)推论一:实对称矩阵正交相似于对角矩阵;
(5)推论二:设
证明
(1)证明定理三:必要性略。充分性,由定理二知
(2)证明推论二:注意到