矩阵论笔记（四）——酉空间与酉变换

酉空间是定义在复数域上的内积空间。

由于在复数中，$i^2 = -1$，为了使内积为正，需要在转置中加入了共轭的操作。这是酉空间与实数域的欧氏空间的主要区别。二者有一套平行的理论。

定义

（1）酉空间：复数域上的 $V$ 定义两向量到复数的对应关系 $(x,y)$，满足交换律（$(x,y) = \overline{(y,x)}$）、分配率、齐次性（$(kx,y) = k(x,y)$，但 $(x,ky) = \overline{k}(x,y)$）、非负性，称为内积，$V$ 称为复内积空间或酉空间；
（2）正规矩阵：$A\in C^{n\times n}$ 且 $A^HA = AA^H$。易知正交阵、酉矩阵、对角矩阵、实对称矩阵、Hermite 矩阵都是正规矩阵；
（3）谱分解：由以下定理三，对于 Hermite 矩阵 $A$，存在酉矩阵 $P$ 使 $P^HAP = \Lambda$。所以 $A = P\Lambda P^H = \lambda_1(p_1 p_1^H) + \cdots + \lambda_n (p_n p_n^H)$；
（4）对应关系：① 共轭转置 $\rightarrow^{\text{对应}}$ 转置，② Hermite 变换 $\rightarrow^{\text{对应}}$ 对称变换，③ Hermite 矩阵 $\rightarrow^{\text{对应}}$ 对称矩阵，④ 酉变换 $\rightarrow^{\text{对应}}$ 正交变换，⑤ 酉矩阵$\rightarrow^{\text{对应}}$ 正交矩阵。

定理

（1）定理一：由内积定义，可直接得到：
   ① $(x,ky) = \overline{k}(x,y)$.
   ② $(x,0) = (0,x) = 0$.
   ③ $(\sum_{i=1}^n \xi_i x_i,\ \sum_{i=1}^n \eta_i y_i) = \sum_{i=1}^n \xi_i \overline{\eta}_i (x_i,y_i)$.
   ④ 模：$\|x\| = \sqrt{(x,x)}$.
   ⑤ 三角不等式：$(x,y)(y,x) \leq (x,x)(y,y)$，仅当 $x,y$ 线性相关时等号成立.
   ⑥ 夹角：$\cos^2 <x,y> = \frac{(x,y)(y,x)}{(x,x)(y,y)}$，当 $(x,y)=0$ 时称二者正交/垂直.
   ⑦ 正交化：任意线性无关向量组可通过 Schmidt 正交化方法正交化.
   ⑧ 正交基：任意非零酉空间都存在正交基和标准正交基.
   ⑨ 直和：任意 $V^n$ 均为其子空间 $V_1$ 与 $V_1^{\perp}$ 的直和.
   ⑩ 酉变换：$(x,x) = (Tx,Tx)\ (x\in V)$.
   ⑪ 酉变换充要条件：$T$ 是酉变换的充要条件是对任意 $x,y$ 都有 $(x,y) = (Tx,Ty)$.
   ⑫ 酉矩阵：酉变换在酉空间的标准正交基下的矩阵是酉矩阵，即 $A^HA = AA^H = I$.
   ⑬ 酉矩阵运算：酉矩阵的逆矩阵、乘积仍是酉矩阵.
   ⑭ Hermite 变换：$(Tx,y) = (x,Ty)\ (x,y\in V)$，也称为酉对称变换.
   ⑮ Hermite 矩阵：Hermite 变换在标准正交基下的矩阵为 Hermite 矩阵，即 $A^H = A$.
   ⑯ 特征值：Hermite 矩阵的特征值都是实数.
   ⑰ 特征向量正交：Hermite 矩阵的不同特征值的特征向量必定正交.

注意：$(x,y)$ 与 $(y,x)$ 互为共轭。

（2）定理二：（Schur 定理）① 任一复矩阵必酉相似于三角阵，对角元素为其 $n$ 个特征值，② 任一实矩阵必正交相似于三角阵，对角元素为其 $n$ 个特征值；

（3）定理三：① $A\in C^{n\times n}$，则 $A$ 酉相似于对角阵的充要条件是 $A$ 为正规矩阵，② $A\in R^{n\times n}$，且 $A$ 的特征值都是实数，则 $A$ 正交相似于对角阵的充要条件是 $A$ 为正规矩阵；

（4）推论一：实对称矩阵正交相似于对角矩阵；
（5）推论二：设 $T$ 是欧氏空间的对称变换，则 $V^n$ 中存在标准正交基使 $T$ 在该基下的矩阵为对角阵。

证明

（1）证明定理三：必要性略。充分性，由定理二知 $A$ 酉相似于三角阵 $P^H AP = B$，带入 $B^H B = BB^H$ 得除对角元素外均为零，即 $A$ 酉相似于对角阵；
（2）证明推论二：注意到 $T$ 在某基下的 $A$ 正交相似于对角阵即 $Q^T AQ = \Lambda$，取过渡矩阵为 换到另一组基即可。