矩阵积分

最新推荐文章于 2023-02-14 13:41:37 发布

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假设 $X$ 为未知矩阵,那么对于矩阵 $X$ 的积分

\int X d X = 1 2 ∥ X ∥ 2 F

$\int X dX = \frac{1}{2}\|X\|_F^2$

另外一种方式理解对于 $X$ 中的每个元素 $x_{ij}$ , 对其积分

\int x i j d x i j = 1 2 x 2 i j

$\int x_{ij}dx_{ij} = \frac{1}{2}x_{ij}^2$

所以

\int X d X = \sum i \sum j \int x i j d x i j = 1 2 \sum i \sum j x 2 i j = 1 2 \sum i \sum j x i j * x i j = 1 2 t r (X T X) = 1 2 ∥ X ∥ 2 F

$\int X dX = \sum_i \sum_j \int x_{ij}dx_{ij} = \frac{1}{2} \sum_i \sum_j x_{ij}^2 = \frac{1}{2} \sum_i \sum_j x_{ij}*x_{ij} = \frac{1}{2}tr(X^TX) = \frac{1}{2}\|X\|_F^2$

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