矩阵论笔记（二）——线性变换

分为如下六个部分：

1. 线性变换及其运算
2. 线性变换的矩阵表示
3. 特征值与特征向量
4. 对角矩阵
5. 不变子空间
6. Jordan 标准形

1 线性变换及其运算

线性变换就是对加法和数乘封闭的，线性空间到自身的映射。

• 定义：

（1）线性变换：变换（V->V 的映射）、象、原象，线性变换（对加法和数乘封闭的变换），旋转、微分、积分都是线性变换；
（2）值域与核：值域 $R(T)$、核 $N(T)$、$\text{dim}R(T) + \text{dim}N(T) = n$（秩+亏/零度），象子空间、核子空间；
（3）线性变换的运算：单位变换/恒等变换、零变换，相等、加法、负变换、数乘、乘法、逆变换，幂、多项式，$T$ 的多项式乘法可交换。

• 计算：

（1）$T$ 的秩：确定基 $x_1,\cdots,x_n$，计算 $T(x_1),\cdots,T(x_n)$ 的极大无关组；
（2）$T$ 的亏：解方程组 $Tx = 0$，得到解空间的基与维度。

2 线性变换的矩阵表示

确定一组基，基的象用基表示，即得线性变换的矩阵表示。

• 定义：

（1）线性变换的矩阵表示：按列排基象系数、唯一，数乘变换、数量矩阵，$\text{dim}R(T) = \text{dim}R(A)$、$\text{dim}N(T) = \text{dim}N(A)$；
（2）线性变换的运算：$T_1+T_2,\ kT_1,\ T_1T_2,\ T_1^{-1}$ 的矩阵表示分别为 $A+B,\ kA,\ AB,\ A^{-1}$，方阵 $A$ 的多项式，向量变换 $y = Tx$ 对应坐标变换 $\eta = A\xi$；
（3）矩阵相似：$T$ 在不同基下的矩阵相似，$B=C^{-1}AC$，其中 $C$ 为过渡矩阵，反身性、对称性、传递性、$f(B) = P^{-1}f(A)P$，相似类。

• 计算：

（1）线性变换的矩阵表示：确定一组基，得到基在 $T$ 下的象，象用基表示，系数按列排即得 $A$。

3 特征值与特征向量

特征向量可使线性变换的矩阵表示最为简单，为三角阵、对角阵或者 Jordan 标准形。

• 定义：

（1）特征值与特征向量：$A$ 与 $T$ 同特征值，$A$ 的特征向量为 $T$ 的特征向量在基下的坐标，特征矩阵 $\lambda I - A$、特征多项式 $\varphi(\lambda)$、属于特征值的特征向量，属于 $\lambda_0$ 的特征向量加上零向量构成特征子空间 $V_{\lambda_0}$；
（2）一些结论：$\sum_{i=1}^n \lambda_i = \sum_{i=1}^n a_{ii} = \text{tr}A,\ \lambda_1\cdots\lambda_n = \text{det}A$，$tr(AB) = tr(BA)$，相似矩阵具有相同的迹、特征多项式、特征值、最小多项式，若 $A = \text{diag}(A_1,\cdots,A_m)$，则 $\text{det}(\lambda I - A) = \prod_{i=1}^m \text{det}(\lambda I_i - A_i)$，不同特征值对应的特征向量线性无关；
（3）Sylvester 定理：记 $A \in \mathbb{R}^{m\times n},\ B \in \mathbb{R}^{n\times m}$，则$\lambda^n \varphi^{AB}(\lambda) = \lambda^m \varphi^{BA} (\lambda)$；
（4）Hamilton-Cayley 定理：（先理：任意 n 阶矩阵与三角矩阵相似）n 阶矩阵 A 是其特征多项式的根，即 $\varphi(\mathbf{A}) = \mathbf{O}$；
（5）最小多项式：首 1、次数最小、以矩阵 $A$ 为根的 $\lambda$ 多项式 $m(\lambda)$，唯一、是 $\varphi(\lambda)$ 的因式。

• 计算：

（1）特征值与特征向量：① 确定一组基；② 求 $A$ 特征多项式的全部根；③ 把根逐个带入特征方程，求特征向量；④ 把 $A$ 的特征向量作为坐标带回基，得到 $T$ 的特征向量；
（2）为什么 $\sum_{i=1}^n \lambda_i = \sum_{i=1}^n a_{ii} = \text{tr}A,\ \lambda_1\cdots\lambda_n = \text{det}A$：因为 $\varphi(\lambda) = \text(det)(\lambda I - A) = \lambda^n - (a_{11} + \cdots + a_{nn})\lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^n\text{det}A$，而 $\varphi(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)\cdots(\lambda - \lambda_n)$；
（3）最小多项式：可以证明，设 $\lambda I - A$ 全体 $n-1$ 阶子式的最大公因式为 $d(\lambda)$，则 $m(\lambda) = \frac{\varphi(\lambda)}{d(\lambda)}$。

4 对角矩阵

仅当 $T$ 有 n 个线性无关的特征向量时，其在某一基下的矩阵 $A$ 为对角矩阵。

• 定义：

（1）对角矩阵：
① $T$ 在某基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是其有 $n$ 个线性无关的特征向量；
② $A$ 与对角矩阵相似的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量（完备的特征向量系）；
③ 若 $A$ 有 $n$ 个互异的特征值，则其与对角矩阵相似。

• 计算：

（1）求解 $P$ 使 $P^{-1}AP = \Lambda$：把 $A$ 的 n 个线性无关的特征（列）向量组成 $P$ 即可，$\Lambda$ 为相应特征值对角阵。

5 不变子空间

$x\in V_1,\ Tx\in V_1$。

• 定义：

（1）不变子空间：对任意 $x\in V_1$，都有 $Tx\in V_1$，则 $V_1$ 是 $T$ 的不变子空间；$V_{\lambda_0}$、$N(T)$、$R(T)$ 都是 $T$ 的不变子空间；
（2）分块对角阵：若 $V^n$ 可分解为 $T$ 的不变子空间的直和 $V^n = V_1 \oplus \cdots \oplus V_s$，则 ① 每个 $V_i$ 的基合并起来就是 $V^n$ 的基；② $T$ 的矩阵 $A = \text{diag}(A_1,\cdots,A_s)$，其中 $A_i$ 是 $T$ 在 $V_i$ 基下的矩阵；
（3）充要条件：$T$ 的矩阵 $A$ 是对角阵的充要条件是 ① $V^n$ 可分解为 n 个 $T$ 的一维特征子空间的直和，或者 ② $\text{dim}V_{\lambda_1} + \cdots + \text{dim}V_{\lambda_s} = n$。

6 Jordan 标准形

化矩阵为 Jordan 标准形，实际上就是适当选基，使问题的数学形式最为简单。

主要有三个问题：1、Jordan 标准形存在且唯一；2、如何求 Jordan 标准形；2、如何求 P。

• 定义：

（1）**定义：**Jordan 标准形、Jordan 块，$\lambda$-矩阵/多项式矩阵、不变因子（初等变换后对角线的项，不随初等变换而改变）、初等因子（连同幂指数、不可约因子）、初等因子组，广义特征向量；
（2）定理：若 $\varphi(\lambda-\lambda_1)^{m_1}\cdots (\lambda-\lambda_s)^{m_s}$，则 ① $V_n$ 可分解为 $s$ 个不变子空间在直和，每个子空间是 $(T - \lambda_iT_e)^{m_i}$ 的核子空间；② 每个不变子空间的基合并即为 $V^n$ 的基，$T$ 在该基下的矩阵为分块对角阵（准对角矩阵），每个块为 Jordan 块；
（3）Jordan 存在性：① 必能找到 $V^n$ 的一组基使（复数域上的） $T$ 的矩阵为 Jordan 标准形，或者 ② 必存在复非奇异阵使 $P^{-1}AP = J$；
（4）Jordan 唯一性：每个复矩阵 $A$ 都与 Jordan 标准形相似，该 Jordan 标准形除去 Jordan 块的排列顺序外，是唯一的。

• 计算：

（1）Jordan 标准形（一）：（复数域）① 把 $\lambda I - A$ 初等变换为对角阵，按依此整除顺序排列不变因子 $d_i(\lambda)$；② 列出初等因子组 $(\lambda - \lambda_i)^{m_i}$；③ 写出每个初等因子对应的 Jordan 块；④ 按顺序构成 Jordan 标准形；
（2）Jordan 标准形（二）：（复数域）记 $D_i(\lambda)$ 为 $A(\lambda)$ 一切 $i$ 阶子式的最大公因式（$i$ 阶行列式因子），则不变因子 $d_i(\lambda) = \frac{D_i(\lambda)}{D_{i-1}(\lambda)},\ D_0(\lambda) = 1,\ i=1,\cdots,s$，后续步骤同上；
（3）P 求解：列方程 $AP = PJ$，得到若干方程组，解方程组即得，各个解向量为 $A$ 的特征向量或广义特征向量（$(\lambda I - A)x_i = -x_{i-1}$）。

• 应用

（1）若 $\lambda_1,\cdots,\lambda_s$ 是 $A$ 的特征值，证 $A^k$ 的特征值只能是 $\lambda_1^k,\cdots,\lambda_s^k$；
（2）$A^m = I$，证 与对角阵相似。