入射波反射波和驻波的特性推导

入射波反射波和驻波的基本推导

学习雷达过程中，发现阻抗匹配是一道迈不过去的坎，而阻抗匹配、能量传输与电压驻波比又有千丝万缕的联系，而电压驻波比则与反射波、入射波等相关的特性有关，于是写下此文章记录一下推导过程。 懒得正经画图，仅作为记录备份，大家凑合看。

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推导

波的传播过程如下图所示

可见，后面的波的相位是滞后于前面的波的。而且波函数不仅和传播距离$r$有关，还和时间$t$有关。令入射波为$f_1(t,r)$，反射波为$f_2(t,r)$,合成波为$f(t,r)$。那么推导如下
$f_1(t,r)=sin(\omega (t-\frac{r}{v}))=sin(\omega t-\frac{\omega r}{v})=sin(\omega t-kr)$
其中$r$为传播距离，$v$为波速。$k=\frac{2\pi }{\lambda },v=\lambda f,\omega =2\pi f$。

那么当波到达$R$处，碰到反射体，那么将会产生反射波。
首先有入射波满足
$f_1(t,R)==sin(\omega (t-\frac{R}{v}))=sin(\omega t-kR)$。假设反射造成的附加相移为${\varphi }_{\Delta }$，一般来说波疏介质到波密介质传播发生反射时附加相移就是$\pi$，但是其它情况就不确定了。那么反射波$f_2(t,R)=sin(\omega t-kR+{\varphi }_{\Delta })$。那么反射波由右向左传播，那么传播距离为$R-r$，则有
$f_2(t,r)=sin(\omega (t-\frac{R}{v}-\frac{R-r}{v})+{\varphi }_{\Delta })=sin(w(t+\frac{r}{v})+{\varphi }_{\Delta }-\frac{2R}{v})$。
那么有$\frac{2R}{v}$可看成常数${\varphi }_1$，令$\varphi ={\varphi }_{\Delta }-\frac{2R}{v}$，有
$f_2(t,r)=sin(\omega t+kr+\varphi )$

那么有合成波$f(t,r)=f_1(t,r)+f_2(t,r)$，通过和差化积，得到
$f(t,r)=2cos(kr+\frac{\varphi }{2})sin(\omega t+\frac{\varphi }{2})$。

可见，合成波在距离上呈现余弦波包络，包络内部波随着时间震荡。

驻波

两列沿相反方向传播的振幅相同、频率相同的波叠加时形成的波叫做驻波。可见，反射波和入射波恰好符合形成驻波的条件。那么波节的位置即可以让余弦项为0求得，波腹则让余弦项最大。最终结果不好展示，贴个MATLAB代码大家去试试吧。

f = 300;
w = 2*pi*f;
R = 10;
v = 10;
lambda = v/f;
phi = pi/2;

r = 0:0.001:0.5;
k = 2*pi/lambda;



axis([0 0.5 -2 2]);
for t = 0:0.0001:1
    f4 = sin(w*t + phi/2);  %内部振幅
    f3 = 2*cos(k*r+phi/2);   %包络
    f5 = f3.*f4;
    f1 = sin(w*t-k*r);
    f2 = sin(w*t+k*r+phi);
    f = f1+f2;
    figure(1)
    hold on
    plot(r,f,'r');
     plot(r,f3,'--');
%     plot(r,f5,'b-');
    pause(0.1);
    hold off
    clf
    axis([0 0.5 -2 2]);
end

如果反射电压幅度和入射电压幅度不一致，那么可用下面的程序来进行模拟

f = 300;
w = 2*pi*f;
R = 10;
v = 10;
lambda = v/f;
phi = pi/2;

r = 0:0.001:0.5;
k = 2*pi/lambda;

A1 = 1;
A2 = 0.5;

axis([0 0.5 -2 2]);
for t = 0:0.0001:1
    f4 = sin(w*t + phi/2);  %内部振幅
    f3 = 2*cos(k*r+phi/2);   %包络
    f5 = f3.*f4;
    f1 = A1*sin(w*t-k*r);
    f2 = A2*sin(w*t+k*r+phi);
    f = f1+f2;
    figure(1)
    hold on
    plot(r,f,'r');
    plot(r,f3,'--');
%     plot(r,f5,'b-');
    pause(0.1);
    hold off
    clf
    axis([0 0.5 -2 2]);
end

不过这样好像无法形成驻波，有点晕。