17、拉普拉斯变换与一阶线性方程组系统的应用及矩阵知识详解

拉普拉斯变换与一阶线性方程组系统的应用及矩阵知识详解

1. 拉普拉斯变换的应用

1.1 单输入单输出系统的单位阶跃响应

对于单输入单输出（SISO）系统，若其传递函数为 (H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{2}{1 + 2s}\frac{2}{1 + 2s + 1})，可通过以下步骤求解单位阶跃响应：
1. 化简传递函数：
- (H(s) = \frac{2}{3 + 2s} = \frac{1}{s + \frac{3}{2}})
2. 因为 (V_i(s) = \frac{1}{s})，所以 (V_o(s) = H(s)V_i(s) = \frac{1}{s(s + \frac{3}{2})})
3. 进行部分分式展开：
- (V_o(s) = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + \frac{3}{2}})
- 计算 (A = \frac{1}{s + \frac{3}{2}}\big| {s = 0} = \frac{2}{3})，(B = \frac{1}{s}\big| {s = -\frac{3}{2}} = -\frac{2}{3})
- 则 (V_o(s) = \frac{2/3}{s} - \frac{2}{3}\frac{1}{s + \frac{3}{2}})
4. 求逆拉普拉斯变换得到时域响应：
- (v_o(t) = (\frac{2}{3} - \frac{2}{3}e^{-\frac{3}{2}t})u(t))

可使用 MATLAB 代码（laplacen2.m）验证该结果。 <