4、矩阵运算与特性详解

矩阵运算与特性详解

1. 矩阵转置

矩阵转置是矩阵运算中的一个基础操作。对于矩阵 (M \in F^{m×n})，其转置 (M^T \in F^{n×m}) 是通过交换矩阵 (M) 的行和列得到的。也就是说，矩阵 (M) 的第一列变为 (M^T) 的第一行，第二列变为 (M^T) 的第二行，依此类推。此外，也会使用 (M^t) 和 (M’) 来表示转置。

如果 (M = M^T)，则称该矩阵为对称矩阵。需要注意的是，两个矩阵 (M, N \in F^{m×n}) 相等，当且仅当它们的所有对应元素都相等，即对于所有的 (i, j)，都有 (m_{ij} = n_{ij})。

对于复数矩阵 (M \in C^{m×n})，其埃尔米特转置 (M^ \in C^{n×m})，也称为复共轭转置。计算 (M^ ) 时，先形成 (M^T)，然后对 (M^T) 中的每个元素取复共轭。

矩阵转置具有以下性质，对于所有的 (M, N \in F^{m×n})，(P \in F^{n×p})，以及 (a \in F)：
- ((M^T)^T = M)
- ((M + N)^T = M^T + N^T)
- ((aM)^T = aM^T)
- ((MP)^T = P^TM^T)

示例

设 (M = \begin{bmatrix} j & 4 \ -2 & 3 + j \end{bmatrix})，则：
- (M^T = \begin{bmatrix} j & -2 \ 4 & 3 + j \end{bmatrix})
- (M^