9、二阶常微分方程的奇点与幂级数解法

二阶常微分方程的奇点与幂级数解法

1. 常点与奇点的定义

在求解二阶线性齐次常微分方程（ODE）时，很多实际应用中出现的这类方程既没有常系数，也不是柯西 - 欧拉形式，如 (ay’’ + by’ + cy = 0) 或 (ax^2y’’ + by’ + cy = 0)。我们可以通过泰勒级数来寻找更复杂 ODE 的解，这种级数解通常在 ODE 的常点附近找到。

对于形如 (y’’ + Py’ + Qy = 0) 的二阶 ODE，如果 (P) 和 (Q) 是关于 (x) 的函数，且在 (x = a) 处解析，那么 (x = a) 就是该 ODE 的常点。一个函数 (f(x)) 在 (x = a) 处解析，意味着它可以在区间 (a - R < x < a + R)（(R) 是以 (x = a) 为中心的正半径）内表示为关于 (x - a) 的泰勒级数之和。

如果 (x = a) 不是上述 ODE 的常点，那么它就是该 ODE 的奇点，即 (P) 和 (Q) 中至少有一个函数在 (x = a) 处不解析。若 ((x - a)P) 和 ((x - a)^2Q) 在 (x = a) 处都解析，则该奇点为正则奇点；否则，为非正则奇点。在奇点处，ODE 可能没有解。

1.1 测试 ODE 在 (x = 0) 处的常点或奇点

• (xy’’ + y’ + xy = 0) ：这里 (P = \frac{1}{x})，(Q = 1)。由于 (P) 在 (x = 0) 处不解析，所以 (x = 0) 是该 ODE 的奇点。
• (y’’ + x^3y’ + \sq