24、复变函数与拉普拉斯变换：理论与应用

复变函数与拉普拉斯变换：理论与应用

复变函数中的保角映射

在复变函数领域，保角映射是一个强大的工具，它在流体力学等领域有着广泛的应用。我们的目标是在 z - 平面中定义一个势函数，使得曲线 C 成为流线。这可以通过保角变换 F 来实现，将 Z - 平面的值对应到 z - 平面。

假设变换 (5) 的逆变换为 f，即 (z = F(Z) \Leftrightarrow Z = f(z))，那么合适的 z - 势函数可以表示为 (\varPsi(z) = \varphi(f(z)))。由于 f 是保角的，并且将 C 的外部映射到 (\gamma) 的外部，(\varPsi) 在相应区域内是解析的。沿着曲线 C，有 (\varPsi(c) = \varphi(f(c)) = \varphi(\gamma) = \psi(\gamma) + i0)，这表明 C 确实是具有复势 (\varPsi(z)) 的 z - 平面流的流线。

茹科夫斯基变换

茹科夫斯基变换 (z = Z + \frac{c^2}{4Z}) 是一个重要的例子。对于大的 (|Z|)，变量 z 和 Z 近似相等。这意味着 Z - 平面中的“无穷远处均匀流”势会被变换为 z - 平面中具有相同特征的流。简而言之，该变换将 Z - 平面中绕过给定形状 (\gamma) 的均匀流变换为 z - 平面中绕过图像形状 C 的均匀流。

通过这个变换，可以证明 Z - 平面中以原点为中心的圆会被变换为 z - 平面中的椭圆。具体来说，Z - 平面中以原点为中心、半径为 (\frac{1}{2}(a + b)) 的圆会映射到 z - 平面中以原点为中心、半轴为 (a, b) 的椭圆，前提是参数