35、收缩层次结构：道路网络中更快更简单的分层路由

收缩层次结构：道路网络中更快更简单的分层路由

1. 引言

在道路网络中规划最优路线在算法工程领域备受关注，因为它有很多有趣的算法方法。这里介绍一种简单的分层路由方法，基于节点收缩的概念。

假设加权有向图 $G = (V, E)$ 的节点按“重要性”升序编号为 1 到 $n$。通过按此顺序收缩节点来构建层次结构。收缩节点 $v$ 时，将网络中形如 $\langle u, v, w\rangle$ 的最短路径替换为捷径边 $\langle u, w\rangle$，前提是 $\langle u, v, w\rangle$ 是从 $u$ 到 $w$ 的唯一最短路径。收缩过程可看作是将所有发现的捷径添加到边集 $E$ 中，从而得到收缩层次结构（CH）。

对于路由，将 CH $(V, E)$ 拆分为向上图 $G↑:= (V, E↑)$ 和向下图 $G↓:= (V, E↓)$，其中 $E↑:= {(u, v) \in E : u < v}$，$E↓:= {(u, v) \in E : u > v}$。对于从 $s$ 到 $t$ 的最短路径查询，执行修改后的双向 Dijkstra 最短路径搜索，即从 $s$ 在 $G↑$ 中进行正向搜索，从 $t$ 在 $G↓$ 中进行反向搜索。

2. 收缩

收缩节点 $v$ 时，处理的是覆盖图 $G′ = (V ′, E′)$，其中 $V ′ = v..n$，$E′$ 保留了相对于输入图的最短路径距离。在 $G′$ 中，需要解决多对多最短路径问题：对于每个源节点 $u \in v + 1..n$ 且 $(u, v) \in E′$，以及每个目标节点 $w \in v + 1..n$ 且 $(v, w)