4、自稳定群体协议实现周期函数

自稳定群体协议实现周期函数

周期函数的实现与推论

对于周期为 τ 且取值在 {0, n} 的任意周期函数 f，存在一个状态集 Sf ⊆ Qτ，使得带有 Sf 的 τ - CLK 能实现 f。证明过程为：令 Sf = {t mod τ : f(t) = n}，根据定义，带有 Sf 的 τ - CLK 可实现 f。

原始振荡器的同步

在同步原始振荡器时，假设参与不同振荡器的代理是不相交的，即它们知道自己所属的组，不过会相互交互以同步执行。偏移量是两个原始振荡器相对于同一时间点的延迟时间差，在本文中以代理的时钟值差表示。假设原始振荡器周期相同但延迟可能不同，且可不失一般性地假设偏移量为正。

为简化协议解释，先聚焦于同步两个原始振荡器。设 POαk（k = 0, 1）是集合 Ak 上的两个原始振荡器，αk = (nk, τ, ιdk, ιℓk)，nk = |Ak|，偏移量为 o。若 A0 ∩ A1 = ∅ 且 |A0 ∪ A1| 为偶数，需找到一个在 A = A0 ∪ A1 上工作的协议，使得从任意初始配置 C0 开始的任何执行 E : C0, C1, …，以概率 1 存在一个时间点 t0 和整数 d0, d1（≥ -t0）满足：
1. o = d1 - d0
2. 对于 k = 0, 1，当 t(≥ t0) 时，νSk(Ct + dk) = fαk(t)，其中 Sk 是 POαk 的状态集，即 POαk = (τ - CLK, Sk)。满足这些条件的协议称为 ⟨POα0, o, POα1⟩。

以下是满足条件的协议 2 - CPO：

Pr