[刷题]Maximum Subarray III

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本文介绍了一个算法问题：寻找整数数组中k个非重叠子数组的最大和。通过动态规划的方法实现，构造了三维动态规划数组dp，详细解释了初始化及状态转移方程。

[LintCode]Maximum Subarray III

public class Solution {
    /**
     * @param nums: A list of integers
     * @param k: An integer denote to find k non-overlapping subarrays
     * @return: An integer denote the sum of max k non-overlapping subarrays
     */
    public int maxSubArray(int[] nums, int k) {
        // 2016-04-06 dp O(n^3) 很难仔细看
        int len = nums.length;
        int[][] dp = new int[k + 1][len];
        // dp[i][j]表示有i个subarray且最后一个subarray的最后一个数是num[j]的所有情况中的最大解
        
        // 初始化1 第一行默认为全0
        // 初始化2 斜着dp[i][i - 1] 
        // 最简单的情况，比如说4个数，4个subarray，即四个数求和
        int sum = 0;
        int index = 0;
        for (int i = 1; i < k + 1; i++) {
            sum += nums[index++];
            dp[i][i - 1] = sum;
        }
        
        // 初始化3 第二行 dp[1][:] 一个subarray的情况
        for (int j = 1; j < len; j++) {
        dp[1][j] = Math.max(dp[1][j - 1] + nums[j], nums[j]);
        }
        
        // 给dp[i][n] 赋值 从第三行开始
        for (int i = 2; i < k + 1; i++) { // 选定某一行
            for (int n = i; n < len; n++) { // 从左到右依次填数。注意n的边界
                int curMax = dp[i][n - 1] + nums[n];  // 同一行 加上左边的数
                // 因为dp[i][n - 1]中包含num[n - 1]，所有加上num[n] 表示，最后的subarray又延长了一位
                for (int j = i - 2; j < n; j++) { // j从i - 2开始 是因为这是已初始化部分的边界
                    curMax = Math.max(dp[i - 1][j] + nums[n], curMax); // 与上一行所有的数依次相加，表示新加的一个是单独是一个subarray
                }
                dp[i][n] = curMax; // 注意dp[i][n]中一定包含num[n]
            }
        }
        
        // 在最后一行中找最大
        int rst = Integer.MIN_VALUE;
        for (int j = k-1; j < len; j++){
            rst = Math.max(dp[k][j], rst);
        }
        return rst;
    }
}


/**
 * 举例 Given [-1,4,-2,3,-2,3], k=2, return 8
 * dp矩阵是3 * 8
 * 0 0 0 0 0 0
 * 1 4 2 5 3 6
 * 0 3 2 7 5 8
 */