树形DP——POJ1947 and POJ2486

本文针对POJ上的2057、1947、2486、3140四道题目，谈一下个人对树形DP的理解，上面4题无法覆盖树形DP的所有形式，但也有一定的针对性，值得去做一做，思考一下：

树形DP中常常用到“背包思想”，1947和2486就是利用了“背包思想”，状态想好了，最后就是在填“背包”，某个节点的“背包”是用他们的子树的状态进行填充的。

• POJ1947：状态dp[i][p]表示以节点i为根的树，持有p个节点需要摧毁的最少的公路，状态转移方程大体可以写为dp[i][p]=Min{dp[i][p],{dp[i][p-k]+dp[j][k]|j is a child of i}}
• POJ2486：状态dp[i][k][0]表示有k步可以走的情况下，女主角回到i节点吃到的最大苹果数；dp[i][k][1]表示有k步可以周的情况下，女主角不一定回到i（可能在i的子树中停止）吃到的最大苹果数。状态转移方程大体可以写为三个(1)dp[i][k][0]=Max{dp[i][k][0],{dp[i][k-l-2][0]+dp[j][l][0]|j is a child of i}};(2)dp[i][k][1]=Max{dp[i][k][1],{dp[i][k-l-2][0]+dp[j][l][1]|j is a child of i}};(3)dp[i][k][1]=Max{dp[i][k][1],{dp[i][k-l-2][1]+dp[j][l][0]|j is a child of i}}；

至于POJ2057，首先要将子树进行排序，然后计算子树的一个状态——知道Home不在此子树中所要走的最少的步数

至于POJ3140，就是一个水题

POJ1947 codes

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;

#define SIZE 152

int dp[SIZE][SIZE];
int children[SIZE][SIZE];
int parent[SIZE];
int col[SIZE];
int P;

void dfs(int now){
	if(children[now][0]==0){
		dp[now][1]=0;
		return ;
	}
	dp[now][1]=0;
	for(int i=1;i<=children[now][0];i++){
		dfs(children[now][i]);
		for(int j=P;j>=1;j--){
			if(dp[now][j]!=-1){
			   for(int k =1;k<=P;k++)
				   if(dp[children[now][i]][k]!=-1 && j+k<=P &&
					   (dp[now][j+k]==-1 || dp[children[now][i]][k]+dp[now][j] < dp[now][j+k])){
				       dp[now][j+k] = dp[children[now][i]][k]+dp[now][j];
				   }
				dp[now][j]+=1;
			}
		}
	}
}

int main()
{
	int N;
	scanf("%d%d",&N,&P);

	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	memset(children,0,sizeof(children));
	memset(parent,-1,sizeof(parent));
	memset(col,-1,sizeof(col));

	for(int i=1;i<N;i++){
		int p,c;
		scanf("%d%d",&p,&c);
		parent[c]=p;
		children[p][++children[p][0]] = c;
	}

	int root = 0;

	for(int i=1;i<=N;i++)
		if(parent[i]==-1){
			root = i;
			break;
		}

	dfs(root);

	int res = -1;
	for(int i=1;i<=N;i++)
		if(dp[i][P]!=-1){
		   int tmp = 0;
		   if(parent[i]==-1) tmp = dp[i][P];
		   else tmp = dp[i][P]+1;
		   if(res==-1 || tmp < res)
			   res = tmp;
		}

	printf("%d\n",res);

	system("pause");
}

POJ2486 codes

/*
	dp[i][j][0]:在i节点还可以走j步，又走回i节点得到的最大苹果数
	dp[i][j][1]:在i节点还可以走j步，不一定走回i节点得到的最大苹果数
	
	dp[i][j][0]的转移方程很简单，dp[i][j][1]的转移方程有两个，注意体会第二
*/
#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;

#define SIZE 105

int children[SIZE][SIZE];
int val[SIZE];
int dp[SIZE][205][2];

int N,K;

#define _max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))

void dfs(int now,int parent){

	for(int i=0;i<=K;i++)
		dp[now][i][0]=dp[now][i][1]=val[now];

	if(children[now][0]!=0){
		for(int i=1;i<=children[now][0];i++){
			int child = children[now][i];
			if(child == parent) continue;
			dfs(child,now);

			for(int k=K;k>=0;k--)
				for(int j=0;j<=k;j++){
					//dp[now][k+2][0]
					dp[now][k+2][0] = _max(dp[now][k+2][0],dp[now][k-j][0]+dp[child][j][0]);
					//dp[now][k+1][1]
					dp[now][k+1][1] = _max(dp[now][k+1][1],dp[now][k-j][0]+dp[child][j][1]);
					//dp[now][k+2][1]
					dp[now][k+2][1] = _max(dp[now][k+2][1],dp[now][k-j][1]+dp[child][j][0]);
				}
		}
	}

}

int main()
{
	while(scanf("%d%d",&N,&K)!=EOF){
		for(int i=1;i<=N;i++)
			scanf("%d",&val[i]);
		memset(children,0,sizeof(children));
		for(int i=1;i<N;i++){
		    int from,to;
			scanf("%d%d",&from,&to);
			children[from][++children[from][0]] = to;
			children[to][++children[to][0]] = from;
		}

		memset(dp,0,sizeof(dp));

		dfs(1,-1);

		printf("%d\n",dp[1][K][1]);
	}
}