矩阵连乘动态规划算法

算法分析与设计-线性时间选择详解(通俗易懂,含图解,附源码)(c++) 线性时间选择 (一)题目 问题描述 给定线性序集中nnn个元素和一个正数kkk,1≤k≤n1\leq k\leq n1≤k≤n,要求找出这nnn个元素中第kkk小的元素 注意:nnn中的元素不重复 (二)解答 1.RandomizedSelect算法 算法思路 在数组a[p:r]a[p:r]a[p:r]中随机找一个数iii将数组划分成两个子数组a[p:i]a[p:i]a[p:i]和a[i+1:r]a[i+1:r]a[i+1:r],如果数组a[p:r]a[p:r]a[p:r]的长度小于等于kkk,说明第kkk 阅读详情

矩阵连乘动态规划算法

题目描述:
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Java实现:

import java.util.Scanner;

public class MatrixChain {

    public static void main(String[] args) {
        // TODO 自动生成的方法存根
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int n = scan.nextInt();
        int p[] = new int[n+1];
        for(int i=0; i<=n; i++)
            p[i] = scan.nextInt();
//      int n = 6;
//      int p[] = {30, 35, 15, 5, 10, 20, 25};
        //非递归
        int m[][] = new int[n+1][n+1];
        int s[][] = new int[n+1][n+1];
        MatrixChain1(p, n, m, s);
        t(1, n, s);
        System.out.println();
        String sss = traceBack(1, n, s);
        System.out.println(sss);
        //自底向上 递归 动态规划
        int s1[][] = new int[n+1][n+1];
        RecurMatrixChain(1, n, p, s1);
        t(1, n, s1);
        System.out.println();
        //自顶向下 递归 动态规划
        int m2[][] = new int[n+1][n+1];
        int s2[][] = new int[n+1][n+1];
        MemoizedMatrixChain(n, m2, s2, p);
        t(1, n, s2);
    }
    //输出计算最优计算次序,括号分离
    public static void t(int i, int j, int s[][]) {
        if (i == j)
            System.out.print("A" + i);
        else {  
            System.out.print("(");
            t(i, s[i][j], s);
            t(s[i][j]+1, j, s);
            System.out.print(")");
        }
    }
    public static String traceBack(int i,int j,int s[][]){
        if(i==j){
              return "A"+i;
        }
        else{
               return"("+traceBack(i,s[i][j],s)+traceBack(s[i][j]+1,j,s)+")";
        }
    }
    //非递归方法
    //一维数组P存储n个矩阵的行列值, 二维数组m存储最优值, 二维数组s记录最优断开位置
    public static void MatrixChain1(int p[], int n, int m[][], int s[][]){
        for(int i=1; i<=n; i++)//单个矩阵
            m[i][i] = 0;
        for(int r=2; r<=n; r++){//多个矩阵
            for(int len=1; len<=n-r+1; len++){
                int j = len + r -1;
                m[len][j] = m[len+1][j] +p[len-1]*p[len]*p[j];
                s[len][j] = len;
                for(int k=len+1; k<j; k++){
                    int t = m[len][k] + m[k+1][j] + p[len-1]*p[k]*p[j];
                    if(t < m[len][j]){
                        m[len][j] = t;
                        s[len][j] = k;
                    }
                }
            }
        }
    }   
    //一维数组P存储n个矩阵的维数值, 二维数组s记录最优断开位置
    //自底向上 递归 动态规划
    public static int RecurMatrixChain(int i, int j, int p[], int s[][]) {
        if(i==j) return 0;
        int u = RecurMatrixChain(i, i, p, s) + RecurMatrixChain(i+1, j, p, s) + p[i-1]*p[i]*p[j];
        s[i][j] = i;
        for(int k=i+1; k<j; k++){
            int t = RecurMatrixChain(i, k, p, s) + RecurMatrixChain(k+1, j, p, s) + p[i-1]*p[k]*p[j];
            if(t < u){
                u = t;
                s[i][j] = k;
            }
        }
        return u;
    }
    //一维数组P存储n个矩阵的维数值, 二维数组m存储最优值, 二维数组s记录最优断开位置
    //自顶向下 递归 动态规划(备忘录方法)
    public static int MemoizedMatrixChain(int n, int m[][], int s[][], int p[]) {
        for(int i=1; i<=n; i++)
            for(int j=i; j<=n; j++)
                m[i][j] = 0;
        return LookupChain(1, n, m, s, p);
    }
    public static int LookupChain(int i, int j, int m[][], int s[][], int p[]){
        if(m[i][j] > 0) return m[i][j];
        if(i==j) return 0;
        int u = LookupChain(i, i, m, s, p) + LookupChain(i+1, j, m, s, p) + p[i-1]*p[i]*p[j];
        s[i][j] = i;
        for(int k=i+1; k<j; k++){
            int t = LookupChain(i, k, m, s, p) + LookupChain(k+1, j, m, s, p) + p[i-1]*p[k]*p[j];
            if(t < u){
                u = t;
                s[i][j] = k;
            }
        }
        m[i][j] =u;
        return u;
    }

}
动态规划——矩阵连乘问题算法及实现详解(附完整代码) 问题分析 矩阵连乘问题是经典的动态规划问题,其主要是n个矩阵进行矩阵乘法运算时,通过括号改变运算的先后顺序,减少运算次数,找到最佳划分方法,求解最少运算次数。 算法分析 矩阵连乘问题中动态规划可以帮助我们找到从每个矩阵到另一个矩阵的最小运算次数以及对应的划分,我们用dp[i][j]存储从矩阵A[i]到矩阵A[j]的运算次数。每当对从矩阵A[i]连乘到矩阵A[j]求解最小连乘括号划分时,我们引入A[i]到A[j]连乘序列中的一个矩阵A[k]。我们从第i+1个矩阵开始尝试,直到矩阵A[j],如果有更优解——得到 阅读详情

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B. Palm", title = "Prediction as a candidate for learning deep hierarchical models of data", year = "2012",}```Contact: rasmusbergpalm at gmail dot comDirectories included in the toolbox-----------------------------------`NN/` - A library for Feedforward Backpropagation Neural Networks`CNN/` - A library for Convolutional Neural Networks`DBN/` - A library for Deep Belief Networks`SAE/` - A library for Stacked Auto-Encoders`CAE/` - A library for Convolutional Auto-Encoders`util/` - Utility functions used by the libraries`data/` - Data used by the examples`tests/` - unit tests to verify toolbox is workingFor references on each library check REFS.mdSetup-----1. Download.2. addpath(genpath('DeepLearnToolbox'));Example: Deep Belief Network---------------------```matlabfunction test_example_DBNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit RBM and visualize its weightsrand('state',0)dbn.sizes = [100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);figure; visualize(dbn.rbm{1}.W'); % Visualize the RBM weights%% ex2 train a 100-100 hidden unit DBN and use its weights to initialize a NNrand('state',0)%train dbndbn.sizes = [100 100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);%unfold dbn to nnnn = dbnunfoldtonn(dbn, 10);nn.activation_function = 'sigm';%train nnopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.10, 'Too big error');```Example: Stacked Auto-Encoders---------------------```matlabfunction test_example_SAEload mnist_uint8;train_x = double(train_x)/255;test_x = double(test_x)/255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit SDAE and use it to initialize a FFNN% Setup and train a stacked denoising autoencoder (SDAE)rand('state',0)sae = saesetup([784 100]);sae.ae{1}.activation_function = 'sigm';sae.ae{1}.learningRate = 1;sae.ae{1}.inputZeroMaskedFraction = 0.5;opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;sae = saetrain(sae, train_x, opts);visualize(sae.ae{1}.W{1}(:,2:end)')% Use the SDAE to initialize a FFNNnn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm';nn.learningRate = 1;nn.W{1} = sae.ae{1}.W{1};% Train the FFNNopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.16, 'Too big error');```Example: Convolutional Neural Nets---------------------```matlabfunction test_example_CNNload mnist_uint8;train_x = double(reshape(train_x',28,28,60000))/255;test_x = double(reshape(test_x',28,28,10000))/255;train_y = double(train_y');test_y = double(test_y');%% ex1 Train a 6c-2s-12c-2s Convolutional neural network %will run 1 epoch in about 200 second and get around 11% error. %With 100 epochs you'll get around 1.2% errorrand('state',0)cnn.layers = { struct('type', 'i') %input layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 6, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %sub sampling layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 12, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %subsampling layer};cnn = cnnsetup(cnn, train_x, train_y);opts.alpha = 1;opts.batchsize = 50;opts.numepochs = 1;cnn = cnntrain(cnn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = cnntest(cnn, test_x, test_y);%plot mean squared errorfigure; plot(cnn.rL);assert(er<0.12, 'Too big error');```Example: Neural Networks---------------------```matlabfunction test_example_NNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);% normalize[train_x, mu, sigma] = zscore(train_x);test_x = normalize(test_x, mu, sigma);%% ex1 vanilla neural netrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samples[nn, L] = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.08, 'Too big error');%% ex2 neural net with L2 weight decayrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.weightPenaltyL2 = 1e-4; % L2 weight decayopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex3 neural net with dropoutrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.dropoutFraction = 0.5; % Dropout fraction opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex4 neural net with sigmoid activation functionrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm'; % Sigmoid activation functionnn.learningRate = 1; % Sigm require a lower learning rateopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex5 plotting functionalityrand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]);opts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through datann.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex6 neural net with sigmoid activation and plotting of validation and training error% split training data into training and validation datavx = train_x(1:10000,:);tx = train_x(10001:end,:);vy = train_y(1:10000,:);ty = train_y(10001:end,:);rand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]); nn.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, tx, ty, opts, vx, vy); % nntrain takes validation set as last two arguments (optionally)[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');```[![Bitdeli Badge](https://d2weczhvl823v0.cloudfront.net/rasmusbergpalm/deeplearntoolbox/trend.png)](https://bitdeli.com/free "Bitdeli Badge")

矩阵连乘积问题 动态规划算法

矩阵连乘积问题 动态规划算法动态规划动态规划问题的特征动态规划法的步骤矩阵连乘积问题分析动态规划法 求解分析最优解结构建立递归关系计算最优值算法计算矩阵连乘积的动态规划算法构造最优解 动态规划 动态规划问题的特征 动态规划算法的有效性依赖于问题本身所具有的两个重要性质: 1.最优子结构 当问题的最优解包含了其子问题的最优解时,称该问题具有最优子结构性质 2.子问题重叠 在使用递归算法自顶向下求解问题时,产生的子问题并不总是新问题,有些子问题被反复计算过,动态规划算法(自底向上)正是利用了子问题重叠性质,对

qq_43427808的博客 3426

动态规划算法之矩阵连乘

1、动态规划算法基本思想: 与分治法类似,也是将待求解问题分解成若干个子问题,但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时,有些子问题被重复计算了许多次。 2、基本步骤: 1)找出最优解的性质,并刻划其结构特征。 2)递归地定义最优值。 3)以自底向上的方式计算出最优值。 4)根据计算最优值时得到的信息,构造最优解。 3、矩阵连乘问题: 由于矩阵乘...

ScriptFlying的博客 2446

【算法笔记】动态规划——矩阵连乘问题

Sample Input 6 30 35 35 15 15 5 5 10 10 20 20 25 Sample Output 1 15125 ((A1(A2A3))((A4A5)A6)) 最优子结构性质:原问题的最优解包含 其子问题的最优解 参考资料:《计算机算法设计与分析》(第四版)p44-p49 ...

... 1977

【算法】动态规划 矩阵连乘问题 python

博主根据老师讲义,自己手撸代码,若有错误,多谢指出。直接上代码 目录 0 讲义 问题 动态规划算法→伪代码 举个例子说明 1 代码 迭代实现 输出连乘顺序 主函数 0 讲义 0.1 问题定义 0.2 问题分析 0.3 动态规划算法 0.4 伪代码 迭代实现动态规划code:迭代实现 0.5 举个例子说明 备忘录里的数据...

还有很长很长的路 3259

算法分析 动态规划解决矩阵连乘问题

矩阵连乘问题 问题: 给定n个矩阵{A1,A2,…,An},其中Ai与Ai+1 是可乘的,i=1,2…,n-1。 如何确定计算矩阵连乘积的计算次序,使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。 1、按设计动态规划算法的步骤解题。 (1)找出最优解的性质,并刻划其结构特征。 (2)递归地定义最优值。 (3)以自底向上的方式计算出最优值。 (4)根据计算最优值时得到的信息,构造最优解(由子结构的...

晓小的博客 4329

谈使用动态规划算法解矩阵连乘问题

一、题目描述 解矩阵连乘问题 二、样例输入 6 30 35 15 5 10 20 25 三、样例输出 ((A0(A1A2))((A3A4)A5)) 四、思路分析 首先大概说一下样例输入,6 代表的是六个矩阵相乘,第二行的数据中每三个连续的数据代表两个矩阵,比如 {30,35,15} 等价于矩阵 A1 = 30x35,A2 = 35x15。 首先关于这道题应该很多朋友在面试...

Coder Yang 4922

动态规划之矩阵连乘算法思想及实现

思想之后再补,先看看实现效果: Java代码: public class MatrixChain { public static void main(String[] args) { int p[] = {30, 35, 15, 5, 10, 20, 25, 30, 40}; // 30×35 35×15 15×5 5×10 10×20 20×25 25×3...

张天壮 790

【算法概论】动态规划:矩阵连乘问题

矩阵连乘问题(Matrix Multiplication Order Problem / Chain Matrix Multiplication) 【文中所有标蓝字体为下标】 问题描述: 有 n 个矩阵进行连乘,已知各个矩阵的行列数,问:如何在算式的中间插入合适的括弧,使得乘法的进行次数最少? 问题解释: 一个 m * n 的矩阵与一个 n * p 的矩阵相乘...

t11383的博客 4369

动态规划算法——矩阵连乘问题(java实现)

矩阵连乘问题: 求矩阵A1(5×3)、A2(3×4)、A3(4×7)、A4(7×2)、A5(2×3)和A6(3×6)连乘的最佳计算次序。  算法实现:package practice; /** * array[i][j] * 表示Ai...Aj的最佳计算次序所对应的相乘次数 即存放各子问题的最优值 * s[i][j]=k * 表示Ai...Aj这(j-i+1)个矩阵中最优加括号

紫眸的博客 8257
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