算法分析 动态规划解决矩阵连乘问题

矩阵连乘问题

问题：

给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1 是可乘的，i=1，2…，n-1。
如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

1、按设计动态规划算法的步骤解题。

(1)找出最优解的性质，并刻划其结构特征。
(2)递归地定义最优值。
(3)以自底向上的方式计算出最优值。
(4)根据计算最优值时得到的信息，构造最优解(由子结构的最优解得到原先大问题的最优解)。

2、求算法的时间复杂性，和空间复杂性
3、体会动态规划和穷举法在解决该问题中的本质差异。

问题辅助分析：

（1）问题的描述

给定n个矩阵{A1,A2,…,An}，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,…,n-1。要算出这n个矩阵的连乘积A1A2…An。由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。

完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：
（1）单个矩阵是完全加括号的；
（2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)。
例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：（A1（A2（A3A4））），（A1（（A2A3）A4）），（（A1A2）（A3A4）），（（A1（A2A3））A4），（（（A1A2）A3）A4）。
每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。
若A是一个p×q矩阵，B是一个q×r矩阵，则计算其乘积C=AB的标准算法中，需要进行pqr次数乘。