可被三整除的最大和(动态规划详解)

题目:1262. 可被三整除的最大和 - 力扣（LeetCode）

思路

1.状态表示

dp[i][j]表示:从前i个数(下标从1开始)中选若干个数的和，其和mod3为j时的最大和。

2.状态转移方程

对第i个数来说有两种情况，选与不选

1>不选

不选的话,即从1-(i-1)中选，根据状态表示，dp[i][j]=dp[i-1][j]。

2>选

如果选的话，考虑如果选了会对当前状态有什么影响

以nums[i-1]%3==1为例

dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][2]+nums[i-1])

dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+nums[i-1]);

dp[i][2] = max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]+nums[i-1]);

其余两种情况同理

即dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][(j-nums[i-1]%3+3)%3]+nums[i-1]);

但是第二种情况并不一定会存在，因为选第i个数来找前面的那个状态的时候是有可能不存在的，dp[i-1][(j-nums[i-1]%3+3)%3]表示从前i-1个数(下标从1开始)中选若干个数的和，其和mod3为(j-nums[i-1]%3+3)%3时的最大和，如果从前i-1个数选若干个数的和mod3的和有可能得不到(j-nums[i-1]%3+3)%3。所以我们可以将这个dp数组全部初始化-1,用-1来检查前一个状态是否存在。

3.初始化

如上面所示需要将dp表中的值全部初始化为-1,观察第一行所代表的意义，从前0个数中选，那只可以得到dp[0][0]=0。

4.填表顺序

由于需要用到前一个的值，所以填表的时候从上到下填每一列，每一行从左到右，从右到左都可以。

5.返回值

根据dp表的状态表示可知返回dp[n][0]即可

Code

        int n = nums.size();
        vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(3,-1));
        dp[0][0] = 0;
        for(int i = 1;i<n+1;i++)
        {
           for(int j = 0;j<3;j++)
           {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
                if(dp[i-1][(j-nums[i-1]%3+3)%3]!=-1) 
                    dp[i][j] = max(dp[i][j],nums[i-1]+dp[i-1][(j-nums[i-1]%3+3)%3]);
           }
        }
        return dp[n][0];

优化

上面将dp表初始化为-1是因为用的值可能不存在，如果用到了前一个值，因为要进行加法，在取最大值时就有可能对dp表产生影响，所以我们取一个非常小的负数，让它加之后是保证不会取到的即可。

        int n = nums.size();
        vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(3,-0x3f3f3f3f));
        dp[0][0] = 0;
        for(int i = 1;i<n+1;i++)
           for(int j = 2;j>=0;j--)
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j],nums[i-1]+dp[i-1][(j-nums[i-1]%3+3)%3]);
        return dp[n][0];