C语言k倍区间

k倍区间
给定一个长度为N的数列，A1, A2, … AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, … Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。

你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？

输入
第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)

输出
输出一个整数，代表K倍区间的数目。

例如，
输入：
5 2
1
2
3
4
5

程序应该输出：
6
解题思路

首先没有认真细想，想到的会是三层for循环遍历所有的子序列，但是这样的时间复杂度就会只能跑过前两个测试用例.这时我们就要想办法去优化。

最容易想到的就是两个for循环的优化，首先在刚开始输入值的时候，就把前i项的和存起来，这样就有了所有前i项的和，然后再去用两个for循环嵌套，遍历的是，任选两个的前i项作差，就是中间的那几项和，然后再去判断。但是这样仍然超时。那么就再想，能不能不嵌套循环就写出来。

这里需要注意到一个小知识，两个数对同一个数取模得到的值一样时，那么这两个数作差，就能被这个整数整除，比如：16%3=1，7%3=1，那么（16-7）%3 = 0。根据这个性质我们就可以开始进行优化了，将之前所求的前i项的和，对k取模，映射到一个数组里面，比如上述测试用例。求和：1，3，6，10，15.取模：1，1，0，0，1；取模得到1的数共有三个，也就是从这三个中选出来两个作差就可以被整除，也就是C（3,2）,取模得到0的数共有2个（正好被整除，特殊），作差可以作出一个，然后再加上两个正好被整除的，也就是1+2，但是这两种情况并不能归为一类，需要分类，那么就再优化一下，让他归到一类，C（m,2）所代表的不就是从1+2+...+m-1，那么让0多一个，不就依然可以看成从中选两个了。

下面是ac代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int A[100010] = {0};//这里我们要放取模后的值
long long int S[100010];//这里存的是前i项的和

int main()
{
  S[0] = 0;//因为我们要求和，避免麻烦。就从第二项开始记，依次加上前一项，这样第一项置为0并没有影响
  A[0] = 1;//这里就是将0的值增加了一个，统一形式
  int n,k;
  scanf("%d %d",&n,&k);
  for(int i = 1;i<=n;i++)
  {
    int a;
    scanf("%d",&a);
    S[i] = S[i-1]+a;//求和
    A[S[i]%k]++;//取模后的值映射到这个数组里
  }
  long long int res = 0;
  for(int i = 0;i<k;i++)
  {
    res += (long long int)A[i]*(A[i]-1)/2;//这里就是C（m,2）
  }
  printf("%lld",res);
  return 0;
}