洛谷 P3386 【模板】二分图匹配

本文深入探讨了二分图匹配问题,通过实例讲解了如何使用匈牙利算法求解二分图的最大匹配数,提供了两种不同的图存储方式:邻接矩阵和邻接表,并附带完整代码实现。

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题目背景

二分图

感谢@一扶苏一 提供的hack数据

题目描述

给定一个二分图,结点个数分别为n,m,边数为e,求二分图最大匹配数

输入输出格式

输入格式:

第一行,n,m,e

第二至e+1行,每行两个正整数u,v,表示u,v有一条连边

输出格式:

共一行,二分图最大匹配

输入输出样例

输入样例#1: 

1 1 1
1 1

输出样例#1: 

1

说明

n,m \leq 1000n,m≤1000, 1 \leq u \leq n1≤u≤n, 1 \leq v \leq m1≤v≤m ,e \le n\times me≤n×m

因为数据有坑,可能会遇到 v>mv>m 或者 u>nu>n 的情况。请把 v>mv>m 或者 u>nu>n 的数据自觉过滤掉。

算法:二分图匹配

解题思路

可以用最大流跑,也可以用匈牙利算法,以下是用匈牙利算法。

存图方式为邻接矩阵。

代码如下

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <fstream>
#define maxn 1005
using namespace std;
int r[maxn];
bool g[maxn][maxn];
int n, m, e;
bool vis[maxn];
bool dfs(int x)
{
	for(int i = 1; i <= m; i ++){    
		if(!vis[i] && g[x][i]){   //改点在本次dfs中没有被访问过且x和i可以匹配 
			vis[i] = true;
			if(!r[i] || dfs(r[i])){    //如果i没有匹配人,或者被匹配了但是可以让之前的人换人 
				r[i] = x;
				return true;
			}
		}			
	}
	return false;
}
int max_match()
{
	int cnt = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i ++){
		memset(vis, 0, sizeof(vis));
		cnt += dfs(i);
	}
	return cnt;
}
int main()
{
	cin >> n >> m >> e;
	memset(r, 0, sizeof(r));
	memset(g, 0, sizeof(g));
	for(int i = 0; i < e; i ++){
		int x, y;
		cin >> x >> y;
		if(x >= 1 && y >= 1 && x <= n && y <= m){
			g[x][y] = true;
		}				
	}
	cout << max_match() << endl;
	return 0;
}

更新,存图方式为邻接表。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>

const int maxn = 505;

int n, m, e;
std::vector<int> vec[maxn];
int vis[maxn];
int t[maxn];

bool dfs(int u, const int tag){
	for(int i = 0; i < vec[u].size(); i ++){
		int v = vec[u][i];
		if(vis[v] == tag) continue;
		vis[v] = tag;
		if(!t[v] || dfs(t[v], tag)){
			t[v] = u;
			return true;
		}
	}
	return false;
}

int match_max(){
	int cnt = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i ++){
		cnt += dfs(i, i);
	}
	return cnt;
}

int main(){
	std::cin >> n >> m >> e;
	for(int i = 0; i < e; i ++){
		int u, v;
		scanf("%d%d", &u, &v);
		vec[u].push_back(v);
	}		
	int ans = match_max();
	printf("%d\n", ans);
}

### 洛谷图论题目合集与学习资源 洛谷作为一个知名的在线编程学习平台,提供了大量的图论相关题目和学习资源。以下是关于洛谷图论题目合集及学习资料的详细介绍: #### 1. 图论基础题目集合 洛谷平台上包含了许多经典的图论题目,涵盖了拓扑排序、DFS、BFS、Floyd、Dijkstra、LCA(最近公共祖先)、最小生成树、最短路径等内容。以下是一些推荐的基础图论题目集合[^1]: - **P3386模板二分图最大匹配**:此题为二分图最大匹配的经典模板题,适合初学者练习匈牙利算法或网络流算法。 - **P3372 【模板】Kruskal 算法求最小生成树**:通过此题可以熟悉 Kruskal 算法实现最小生成树的过程。 - **P3373 【模板】Prim 算法求最小生成树**:Prim 算法是另一种求解最小生成树的方法,此题为其实现提供了一个良好的实践机会。 #### 2. 并查集相关题目 并查集是一种用于处理集合合并与查询问题的数据结构,在图论中有着广泛的应用。以下是一些与并查集相关的题目[^2]: - **P5836 [USACO19DEC]Milk Visits S【并查集】**:此题需要使用并查集来判断奶牛之间的连通性,并根据条件进行合并操作。 - **P2820 局域网【并查集 + 最小生成树】**:结合了并查集和最小生成树的知识点,要求计算局域网中的最优连接方式。 #### 3. 高级图论题目 对于已经掌握基础图论知识的学习者,可以尝试以下高级题目集合[^3]: - **P3629 [APIO2010]巡逻【树的直径】**:此题涉及树的直径计算,是一个经典的树形图论问题。 - **P4568 [JLOI2011]飞行路线【多源最短路径】**:此题需要使用 Floyd-Warshall 算法或其他多源最短路径算法来解决复杂图中的路径问题。 #### 4. 学习资源推荐 除了题目练习外,洛谷还提供了丰富的学习资料,帮助用户深入理解图论知识[^4]: - **洛谷题解区**:每道题目下方都有详细的题解,涵盖多种解法和优化技巧。 - **优快云 博客**:许多博主在 优快云 上分享了关于图论的学习笔记和经典题目解析,例如《图》经典题题解(拓扑排序,DFS,BFS,Floyd, Dijkstra, LCA 最近公共祖先,最小生成树,最短路径)。 - **OI Wiki**:这是一个开源的竞赛编程学习网站,其中包含了图论相关的理论知识和算法实现。 ```python # 示例代码:Kruskal 算法求最小生成树 def find(x, f): if f[x] == x: return x f[x] = find(f[x], f) return f[x] def kruskal(n, edges): edges.sort(key=lambda x: x[2]) f = list(range(n + 1)) mst = [] for u, v, w in edges: root_u = find(u, f) root_v = find(v, f) if root_u != root_v: f[root_u] = root_v mst.append((u, v, w)) return mst ```
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