Dijkstra算法

一、算法正确性证明
归纳法
设V为所有顶点集合，S为已经找到最短路径的顶点的集合。s为源点。
（1）初始条件
初始时，S中仅有节点s，s到s的距离为0，所以肯定是最小距离
（2）假设条件
假设S中已经有k个节点，s到这k个节点的最短距离均已被找到。
（3）推导
此时按照Dijkstra算法添加第k+1个节点p到S中，则其最短距离一定是经由S中的某些节点连接到p。
反证法：假设存在一条从s除经过S中节点，还经过V-S中节点r到达p的最短路径，即Length(s->r->p) < (s->p) , 则此时有Length(s->r) < length(s->p)，此时按照Dijkstra算法，添加的应该是节点r，而不是p。因而可证明并不存在S以外的结点r，使得s经过r而得到到达p的最短路径。

参考资料
【图论】信手拈来的Prim，Kruskal和Dijkstra