双向Dijstra算法

本文介绍了双向Dijkstra算法,用于求解无向带权图中两点间的最短路径。算法通过从前向和后向两个方向分别进行Dijkstra搜索,直至找到最短路径。示例展示了如何使用二叉堆实现优先队列,并提供了C++代码实现。

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    双向Dijstra算法:在无向带权图中,求从s到t最短路径。双向Dijstra算法的思想是:分别从s顶点和t顶点开始执行单向Dijstra算法,从s点开始执行的Dijstra算法定义为前向Dijstra搜索,从t点开始执行Dijstra算法定义为后向Dijstra搜索。算法结束的条件是:前向(后向)Dijstra搜索求得当前最短路径上的顶点为u,且在后向(前向)Dijstra搜索已经计算出到u的最短路径,此时s到t的最短路径可以表示为sp(s,u)+sp(t,u)。
    如图所示:求s到t的最短路径,我们分别从s和t执行Dijstra搜索,经过三次迭代后,前向(后向)Dijstra搜索已经求得最短路径上的点为s,a,b(t,g,f),此时优先队列Qf(执行前向Dijstra搜索使用的优先队列)和Qb(执行后向Dijstra搜索使用的优先队列)中分别存储c,d和e,d,且此时s到c和d的最短距离分别为6,10;t到e和d的最短距离也分别为6,10。继续执行,前向Dijstra搜索中c顶点执行出栈操作,同时松弛(c,e)和(c,d)边;后向Dijstra搜索中e顶点出栈,同时松弛(e,c)和(e,d)边。再一次迭代时,前向Dijstra搜索中e顶点执行出栈操作时,后向Dijstra搜索中已经求得t到e最短距离,所以双向Dijstra算法结束,最后求得s到t的最短距离为sp(s,e)+sp(t,e)=13。
//使用二叉堆选择最小元素的双向Dijstra算法
#include<iostream>
#include<vector>
#include
### 双向Dijkstra算法详解 #### 算法概述 双向Dijkstra算法是一种优化版本的单源最短路径算法,旨在通过从起点和终点同时进行搜索来加速传统Dijkstra算法。此方法减少了需要探索的状态空间数量,在许多情况下能够显著提高效率。 #### 工作机制 在标准Dijkstra算法基础上进行了改进,具体表现为: - **双端同步扩展**:分别从前向(source-to-target)方向以及反向(target-to-source)方向执行两轮独立但并行的传统Dijkstra过程; - **交汇检测**:当任意一轮搜索遇到另一方已访问过的节点时,则认为找到了一条连接起始点与目标点的有效路径;此时应立即停止继续搜索,并基于当前信息构建最终解。 - **终止条件**:一旦发现前向或后向搜索过程中某次更新使得两者间存在公共交集,则可结束整个查找流程[^1]。 #### 实现方式 以下是Python语言下的简单实现示例: ```python import heapq def bidirectional_dijkstra(graph, start, end): # 初始化数据结构 forward_dist = {node: float('inf') for node in graph} backward_dist = {node: float('inf') for node in graph} forward_prev = {} backward_next = {} forward_queue = [(0, start)] backward_queue = [(0, end)] forward_dist[start], backward_dist[end] = 0, 0 while forward_queue and backward_queue: f_cost, current_f = heapq.heappop(forward_queue) b_cost, current_b = heapq.heappop(backward_queue) if current_f in backward_dist or current_b in forward_dist: break # 前向遍历逻辑... neighbors = graph[current_f] for neighbor, weight in neighbors.items(): tentative_distance = forward_dist[current_f] + weight if tentative_distance < forward_dist[neighbor]: forward_dist[neighbor] = tentative_distance forward_prev[neighbor] = current_f heapq.heappush(forward_queue, (tentative_distance, neighbor)) # 后向遍历逻辑... neighbors = graph[current_b] for neighbor, weight in neighbors.items(): tentative_distance = backward_dist[current_b] + weight if tentative_distance < backward_dist[neighbor]: backward_dist[neighbor] = tentative_distance backward_next[neighbor] = current_b heapq.heappush(backward_queue, (tentative_distance, neighbor)) intersection_node = set(forward_dist).intersection(set(backward_dist)) min_path_length = float('inf') meeting_point = None for node in intersection_node: path_length = forward_dist[node] + backward_dist[node] if path_length < min_path_length: min_path_length = path_length meeting_point = node return reconstruct_path(start, end, forward_prev, backward_next, meeting_point), min_path_length def reconstruct_path(start, end, prev_map, next_map, meet_at): path = [] temp = meet_at while temp != start: path.append(temp) temp = prev_map[temp] path.reverse() path.append(meet_at) temp = next_map.get(meet_at) while temp is not None and temp != end: path.append(temp) temp = next_map.get(temp) return path ```
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