867. 分解质因数(最强时间复杂度,O(sqrt(N)))

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分类专栏：数学文章标签：算法

于 2022-11-20 12:02:36 首次发布

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本文介绍了一种质因数分解的优化算法，该算法利用了n中最多只含有一个大于sqrt(n)的因子这一性质。通过对小于等于sqrt(n)的因子进行遍历，并在最后判断是否还存在大于sqrt(n)的唯一质因子，从而实现高效的质因数分解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这里有个性质：n中最多只含有一个大于sqrt(n)的因子。证明通过反证法：如果有两个大于sqrt(n)的因子，那么相乘会大于n，矛盾。证毕
于是我们发现最多只有一个大于sqrt(n)的因子，对其进行优化。先考虑比sqrt(n)小的，代码和质数的判定类似
最后如果n还是>1，说明这就是大于sqrt(n)的唯一质因子，输出即可。

时间复杂度:O(sqrt(N)))!

代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,t,s;
void f(int x)
{
  for(int i = 2;i <= x / i;i++)
    if(x % i == 0)
    {
      s = 0;
      while(x % i == 0)
      {
        x /= i;
        s++;
      }
      cout<<i<<" "<<s<<endl;
    }
    if(x > 1) cout<<x<<" 1"<<endl;
    puts("");
}
int main()
{
  cin>>n;
  while(n--)
  {
    cin>>t;
    f(t);
  }
  return 0;
}

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