Chinese remainder theorem again + 数论

最新推荐文章于 2025-10-11 20:34:45 发布

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#数论 #数学 #algorithm #gcd #最小公倍数

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本文探讨了如何利用中国剩余定理解决一类特殊问题：找到一个最小的正整数N，该数除以一系列互质的模数Mi时，余数为Mi-a。通过将问题转化为求最小公倍数并给出具体实现代码。

Chinese remainder theorem again

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Problem Description

我知道部分同学最近在看中国剩余定理，就这个定理本身，还是比较简单的：
假设m1,m2,…,mk两两互素，则下面同余方程组：
x≡a1(mod m1)
x≡a2(mod m2)
…
x≡ak(mod mk)
在0<=<m1m2…mk内有唯一解。
记Mi=M/mi(1<=i<=k),因为（Mi,mi）=1,故有二个整数pi,qi满足Mipi+miqi=1,如果记ei=Mi/pi,那么会有：
ei≡0(mod mj),j!=i
ei≡1(mod mj),j=i
很显然，e1a1+e2a2+…+ekak就是方程组的一个解，这个解加减M的整数倍后就可以得到最小非负整数解。
这就是中国剩余定理及其求解过程。
现在有一个问题是这样的：
一个正整数N除以M1余(M1 - a)，除以M2余(M2-a), 除以M3余(M3-a),总之，除以MI余(MI-a),其中（a<Mi<100 i=1,2,…I）,求满足条件的最小的数。

Input

输入数据包含多组测试实例，每个实例的第一行是两个整数I(1<I<10)和a,其中，I表示M的个数，a的含义如上所述，紧接着的一行是I个整数M1,M1...MI，I=0 并且a=0结束输入，不处理。

Output

对于每个测试实例，请在一行内输出满足条件的最小的数。每个实例的输出占一行。

Sample Input

2 1
2 3
0 0

Sample Output

5
 
/*
思路：由题意M%m1=(m1-a),可以推出(M+a)%m1 == 0 ;
这样这个题就转化成求m1,m2,m3,m4....mn的最小公倍数，ans = 最小公倍数-a ;
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int gcd(int a , int b )
{
	if(a== 0)
		return b ;
	return gcd(b%a,a) ;
}
int main(void)
{
	int n , a ;
	while(cin >> n >> a&&(n||a))
	{
		int i ,b[12];
		for(i = 0 ; i  < n ; i ++)
			cin >> b[i] ;
		__int64 sum = b[0] ;
		for( i = 1 ; i < n ; i ++)
		{
			__int64 m = gcd(sum , b[i]) ;
			sum = sum/m*b[i]/m*m ;
		}
		printf("%I64d\n",sum-a);
	}
	return 0;
}