Chinese remainder theorem again（最小公倍数）

最新推荐文章于 2021-06-19 18:30:56 发布

Guuuuuu老师儿

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分类专栏： # 数论

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本文介绍了一个结合了中国剩余定理与最小公倍数概念的问题，通过分析和给出代码实现，展示了如何找到满足特定同余条件的最小整数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Chinese remainder theorem again

 我知道部分同学最近在看中国剩余定理，就这个定理本身，还是比较简单的：
假设m1,m2,…,mk两两互素，则下面同余方程组：
x≡a1(mod m1)
x≡a2(mod m2)
…
x≡ak(mod mk)
在0<=<m1m2…mk内有唯一解。
记Mi=M/mi(1<=i<=k),因为（Mi,mi）=1,故有二个整数pi,qi满足Mipi+miqi=1,如果记ei=Mi/pi,那么会有：
ei≡0(mod mj),j!=i
ei≡1(mod mj),j=i
很显然，e1a1+e2a2+…+ekak就是方程组的一个解，这个解加减M的整数倍后就可以得到最小非负整数解。
这就是中国剩余定理及其求解过程。
现在有一个问题是这样的：
一个正整数N除以M1余(M1 - a)，除以M2余(M2-a), 除以M3余(M3-a),总之， 除以MI余(MI-a),其中（a<Mi<100 i=1,2,…I）,求满足条件的最小的数。

Input
输入数据包含多组测试实例，每个实例的第一行是两个整数I(1 < I < 10)和a,其中，I表示M的个数，a的含义如上所述，紧接着的一行是I个整数M1,M1…MI，I=0 并且a=0结束输入，不处理。
Output
对于每个测试实例，请在一行内输出满足条件的最小的数。每个实例的输出占一行。
Sample Input

2 1
2 3
0 0

Sample Output

题意：

让我们求一个数N，使得 $N \% m_i = m_i-a$

分析：

这是一道披着中国剩余定理外衣的最小公倍数的题

我们分析式子

$N \% m_i = m_i-a$

可以写成同余式

$N \equiv m_i-a \ (mod \ m_i)$

$\downarrow$

$N+a \equiv m_i\ (mod\ m_i)$

即：

$N+a \equiv 0 \ (mod\ m_i)$

所以N+a是 $m_i$ 的倍数，所以N+a应该是 $m_1,m_2\cdots m_i$ 的公倍数，因为题目要求最小整数
所以就是求 $m_1,m_2\cdots m_i$ 的最小公倍数

注意这里在求的过程中要边除去gcd边相乘，否则会爆long long

code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a,ll b){
    return b ? gcd(b,a%b) : a;
}
int main(){
    ll n,a;
    ll m[20];
    while(~scanf("%lld%lld",&n,&a)){
        if(n == 0 && a == 0) break;
        ll ans = 1;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            ll num;
            scanf("%lld",&num);
            ans = ans / gcd(ans,num) * num;
        }
        printf("%lld\n",ans-a);
    }
    return 0;
}