线性规划

1. 最短路径问题
2. 多阶段决策问题

给定$s_k$之后，系统以后的状态就完全由$k$及其以后的各阶段的决策所决定，和系统经由什么路径到达$s_k$无关，即和$s_1,s_2,..,s_{k-1}$的取值无关。
该特点称为马尔可夫（Markov）性，或无后效性。

学习要求
1.理解线性规划的一般形式、规范形式和标准形式。
2.掌握线性规划的图解法及其几何意义。
3.单纯型方法的原理，掌握单纯形表计算线性规划问题的方法和步骤。
4.掌握线性规划的对偶理论及其性质，了解经济意义，掌握对偶单纯型法。
5.价值向量。

解的基本性质
1.可行解是基本可行解的充要条件是它的正分量所对应的的A中的列向量线性无关。
1.可行解是基本可行解的充要条件是$\bar{X}$是可行域的顶点。

单纯形法的初始可行基的基本要求
1.标准形式。
2.约束系数矩阵中至少含有一个m阶的单位子矩阵，其对应的变量为基变量。
3.右端向量非负。
4.目标函数中不含基向量。
标准型

$$\max \quad C^T$$
标准型
$$\max \quad C^TX\\ s.t. \quad AX=b\\ X\geq0$$
一般形式
$$max \quad f(x_1,x_2,...,x_n)\\ s.t. \quad h_i(x_1,x_2,...,x_n)=0, \quad i=1,2,...,m\\ g_i(x_1,x_2,...,x_n)\leq0, j=1,2,...,t$$

$$\min \quad \sum_{j=1}^nc_jx_j\\ s.t. \quad \sum_{j=1}^na_{ij}x_j=b_i, \quad \forall 1 \leq i \leq p\\ \sum_{j=1}^na_{ij}x_j=b_i, \quad \forall p+1 \leq i \leq m\\ x_j \geq 0, \forall 1 \leq j \leq q$$
典式
$$x_B=B^{-1}Nx_N=\bar{b}$$
$$\bar{b}=B^{-1}b$$
选取 $\min\{\frac{\bar{b_i}}{\bar{a}_{ik}}|\bar{a_{ik}}>0,\quad i=1,..,m\}=\frac{\bar{b}_r}{\bar{a}_{rk}}$目的是为了保证生成一个基本可行解。
经过变换之后与原问题等价的问题是
$$\begin{cases}\min \quad z=z_0-\zeta^Tx\\s.t. \quad x_B+B^{-1}Nx_N=b\\\quad x\geq0\end{cases}$$

$\zeta = c_B^TB^{-1}A-c^T=(\zeta^T_B,\zeta^T_N)=(0,c_T^BB^{-1}N-c_N^T)$

原始问题	对偶问题
极小	极大
P个等式约束	p个自由变量
不等式约束	非负变量
自由变量	等式约束
非负变量	不等式约束小于等于

互补松紧性
分别是原始问题和对偶问题的可行解，则他们是原始问题和对偶问题的最优解的重要条件时
$\forall i=1,2,..,m$ and $\forall j=1,2,..,n$

$$u_i=w_i(a_i^Tx-b_i=0\\v_i=(c_j-w^TA_j)x_j=0$$
LP 问题

对偶\原始	有最优解	问题无界	无可行解
有最优解	1	X	X
问题无界	X	X	3
无可行解	X	3	2