梯度Grad

梯度的定义如下：

梯度是一个向量，也叫矢量。其方向为变化最快的那个方向，其大小就是那个方向的变化率。

       

为了描述这一变化率，我们用的是方向导数。

比如这个，曲面上的点沿着C1移动的变化率，就是函数f在其方向u1上的方向导数。

梯度推导

而我们要找的梯度，其方向就是方向导数中的最大者的方向；其值就是函数在此点处沿这个方向运动时的变化率。

而我们知道，在可微分的情况下，方向导数可以被偏导数线性表示。

下面这个是全微分的表达式。即函数对x的偏微分+函数对y的偏微分。

而这里的alpha和beta是函数的两个偏导数与方向向量u的夹角。

现在只要找到变化率的最大值，那就找到了梯度！

因此我们将方向导数这个代数式进行变形。

改写为向量点积的形式。

那么这个式子就说明，方向导数是向量v在eu上的投影。

假设两向量的夹角为theta。

显然theta不断接近于0时，向量v在eu方向上的投影也不断扩大。

当eu与v同向时，所得投影获得最大值。这说明向量v的模长即为方向导数中的最大者。

所以得到如下式子：

i和j分别是x轴和y轴的单位向量。为原点做正交分解后得到的单位向量。

梯度定义如下：

倒三角这个被称为微分算子，读作nabla。之后还会文章来讲。

梯度的优势

它的优势就是能表示所有的方向向量。

我们回到刚刚推导的式子。它等于梯度在其方向向量上的投影。

  这个符号表示的是函数f在点（x0，y0）处的梯度的模（范数）。通常使用欧几里得范数（也称为 L2 范数）来计算，即：

梯度的模可以用来衡量函数在某个点的变化率。

回到推导

当θ等于2分之pi时。eu与梯度正交。此时方向导数为0

当θ等于pi时，eu与梯度的方向相反，此时方向导数最小，其值为梯度模长的相反数。