Generating Permutations全排列

最新推荐文章于 2025-06-06 21:33:25 发布

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分类专栏：算法设计与分析文章标签：算法

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Problem

generating all permutations of the numbers 1, 2, . . . , n.

The first algorithm

Idea

1[all the permutations of the numbers 2,3,…,n]，

2[all the permutations of the numbers 1,3,…,n]，

……，

n[all the permutations of the numbers 1,2,…,n-1]

首先，我们创建一个数组P[]，用来存储排列结果。数组P的长度为n，表示排列中包含的数字范围从1到n。
我们从1到n的循环，将数组P[]初始化为1到n的有序排列。
接着，调用perml(1)这个过程，开始生成排列。
过程perml(m)的目标是生成从m到n的所有排列。
如果m等于n，表示我们已经完成了整个排列，将当前的排列输出。
否则，我们从m到n的循环，每次交换P[m]和P[j]的值，然后递归调用perml(m+1)，直到达到最后一个数字n。
当递归回溯到上一层时，再次交换P[m]和P[j]的值，以确保在下一轮迭代中能够重新考虑所有可能的排列。
最终，当m等于n时，输出P[1..n]表示一种排列

Time Complexity: Q ( nn !)

Since there are n! permutations, Step 1 of Procedure perm1 takes nn! to output all permutations.

Now we count the number of iterations of the for loop. In the first call to Procedure perm1, m = 1. Hence, the for loop is executed n times plus the number of times it is executed in the recursive call perm1(2). When n = 1, the number of iterations is zero, and the number of iterations f(n) can be expressed by the recurrence

The second algorithm

n Idea

n [x x…x x] ,

[´] n [x … x x]，

……，

[ x x … x x] n.

First, we put n in P[1] and generate all the permutations of the first n − 1 numbers using the subarray P[2..n]. Next, we put n in P[2] and generate all the permutations of the first n − 1 numbers using the subarrays P[1] and P[3..n]. Then, we put n in P[3] and generate all the permutations of the first n−1 numbers using the subarrays P[1..2] and P[4..n]. This continues until finally we put n in P[n] and generate all the permutations of the first n − 1 numbers using the subarray P[1..n − 1]. Initially, all n entries of P[1..n] contain 0’s.

首先，我们创建一个数组P[]，用来存储排列结果。数组P的长度为n，表示排列中包含的数字范围从1到n。
我们从1到n的循环，将数组P[]初始化为0。
接着，调用perm2(n)这个过程，开始生成排列。
过程perm2(m)的目标是生成从m到0的所有排列。
如果m等于0，表示我们已经完成了整个排列，将当前的排列输出。
否则，我们从1到n的循环，对于每个位置j，如果P[j]等于0，表示该位置还没有被填入数字，则我们将数字m填入该位置。
然后，递归调用perm2(m-1)，继续填入下一个数字。
在递归返回之前，将填入的数字重新置为0，以便下一轮迭代使用。
当所有位置都填满数字后，输出当前排列。
最终，当m等于0时，输出P[1..n]表示一种排列。

Time Complexity: Q ( nn !)

Since there are n! permutations, Step 1 of Procedure perm2 takes nn! to output all permutations.

Now we count the number of iterations of the for loop. The for loop is executed n times in every call perm2(m) plus the number of times it is executed in the recursive call perm2(m − 1). When Procedure perm2 is invoked by the call perm2(m) with m > 0, the array P contains exactly m zeros, and hence the recursive call perm2(m − 1) will be executed exactly m times. When m = 0, the number of iterations is zero, and the number of iterations can be expressed by the recurrence