数模知识01——层次分析法模型（AHP）

一、简介

        层次分析法（The Analytic Hierarchy Process即 AHP)是由美国运筹学家、 匹兹堡大学教授T . L. Saaty 于 20 世纪 70 年代创立的一种系统分析与决策的综合评价方法，是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的，它较合理地解 决了定性问题定量化的处理过程。 AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化到若干因 素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。

        是建模比赛中最基础的模型之一，其主要用于解决评价类问题（例如：选择哪种方案最好、哪位运动员或者员工表现的更优秀）。其中用到的数据往往是未知的，即需要读者自行去搜寻。

        本文将结合例题学习层次分析法模型。

 二、适用特点（什么时候要用AHP？）

        如我们开头提到的，评价类问题以及选择性问题等，如选择哪一个方案更优时。这里我们给出一道例题来进行接下来的学习：        

     例：   小李同学想出去旅游。在查阅了网上的攻略后，他初步选择 了苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。

                请你确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最合适的方案。

解决评价类问题，我们首先要想到如下三个问题：

       

         1.我们评价的目标是什么？

         答：为小李同学选择最合适的旅游目的地。

       

         2.我们评价的准则或者依据是什么？

         答：题目没给，需要读者自行选取

       

        3.我们为了达到这个目标有几个方案？

         答：3个。分别是 去苏杭/ 去北戴河/ 去桂林。

         可以看到，我们当务之急是确定评价的准则，只有有了准则才好评定。

三、正文（层次分析法的具体使用）

        一句话总结层次分析法，就是确定相关的评价准则，然后结合准则给每个方法打分，谁分高就选谁。但是打分该怎么打？这是最关键的，我们需要计算每个评价准则的权重，结合权重来打分。

        可能有的小白不清楚结合权重打分是什么意思，我举个简单的例子，比如说我们相亲找对象，每个人在心里考虑的首要条件是不一样的，有的人更在意颜值，有的人也许更在意家庭背景或者是财富积累等等。而权重则反应这些评价准则的地位，权重越大，则考虑的优先级越高。举个例子，小李去相亲，在已经确定权重且给相亲对象打了分的情况下，我们有如下的计算分数方法：

 

	权重	相应分数
家庭观念	0.5	0.3
颜值	0.3	0.4
性格	0.2	0.5

那么总分数=每一行的权重*分数 再相加=0.5*0.3+0.3*0.4+0.2*0.5=0.37，这样我们就有了总分数，就可以进行比较，从而选取分数更高即更满意的方案。

        回到前文讲的小李去旅游的例子，我们以此展开进一步的学习：

 例：   小李同学想出去旅游。在查阅了网上的攻略后，他初步选择 了苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。

                请你确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最合适的方案。

        首先我们可以上网查询相关资料（可以去知网、谷歌学术景象等等）来确定评价依据，如图是知网上一些相关文献：

         在查阅了许多资料后，我们最终确定了如下5个评定依据：

        ①景色         ②花费        ③居住        ④饮食        ⑤交通

接下来我们需要做的就是计算它们的权重，不过我们先要进行两两比较，你也可以理解为确定依据的优先级。在这里我们引入一个比较程度表，这是层次分析法常用的手段。

标度	含义
1	同等重要
3	前者稍微重要
5	前者明显重要
7	前者强烈重要
9	前者极端重要
2、4、6、8	表示重要程度介于两个奇数的中间值
倒数	如果A比B为3，那么B比A则为1/3

由此我们可以根据我们从网上得来的数据列出如下一张表：

	景色	花费	居住	饮食	交通
景色	1	1/2	4	3	3
花费	2	1	7	5	5
居住	1/4	1/7	1	1/2	1/3
饮食	1/3	1/5	2	1	1
交通	1/3	1/5	3	1	1

        这个表称作判断矩阵，顾名思义是可以判断指标重要程度的矩阵。显而易见，对角线上的数都是1，因为指标和自己比较重要程度是相同的。我们记该矩阵为A，第i行、第j列的元素为aij，显然aij很大于0。当一个矩阵中aij * aji=1时，我们称该矩阵为正互反矩阵。有了判断矩阵后，我们就可以计算权重，再计算总分了，计算权重的方法我们放后面讲。

        接下来我们要考虑一个问题就是，三个方案在单一评价准则中的分值情况。这里我们就需要完成更细致的判断矩阵，如下图：（同样延续上面提到的用数字表示重要程度的方法）

景色	苏杭	北戴河	桂林
苏杭	1	2	5
北戴河	1/2	1	2
桂林	1/5	1/2	1

评价的数据来源都是从网上搜集的。但是有时也可能出现一些“意外”情况。如下图：

景色	苏杭	北戴河	桂林
苏杭	1	2	1
北戴河	1/2	1	2
桂林	1	1/2	1

        在这里我们可以看到苏杭比桂林比值为1，也就是说苏杭的风景和桂林一样好。同时苏杭比北戴河的比值为2，也就是说苏杭的景色比北戴河稍微好一丢丢。

        但是我们看第三行，北戴河比桂林的比值为2，也就说北戴河的景色比桂林好，根据已知，苏杭比北戴河风景好，苏杭和桂林风景一样好，但这里又说北戴河风景比桂林好，那不就推出北戴河风景比苏杭好了吗？这显然是矛盾的。我们称这种矩阵是不一致的，接下来我们引出一致矩阵的定义。