素数筛法——求指定范围内的素数

一、埃氏筛法（Sieve of Eratosthenes）：

主要思想是从2开始将所有数的倍数都筛去。

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

vector<int> sieveOfEratosthenes(int n) {
    vector<bool> prime(n + 1, true);
    prime[0] = prime[1] = false;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (prime[i]) {
            for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
                prime[j] = false;
            }
        }
    }
    vector<int> primes;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (prime[i]) {
            primes.push_back(i);
        }
    }
    return primes;
}

int main() {
    int n = 100;  // 这里可以修改范围，例如要找100以内的质数
    vector<int> result = sieveOfEratosthenes(n);
    for (int prime : result) {
        cout << prime << " ";
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

主要分为3步：

1. 初始化：创建一个布尔类型的vector prime，长度为n + 1，并初始化为true，表示假设所有数都是质数，并初始化0和1为false。
2. 筛掉所有偶数：然后从2开始，对于每个质数i，将其倍数（从i * i开始，因为小于i * i的倍数已经被更小的质数标记过了）标记为false。
3. 取出指定范围内的素数：最后遍历prime数组，将值为true的索引（即质数）添加到结果vector中，并在main函数中输出这些质数。

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二、欧拉筛（线性筛）：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

vector<int> eulerSieve(int n) {
    vector<bool> isPrime(n + 1, true);
    vector<int> primes;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (isPrime[i]) {
            primes.push_back(i);
        }
        for (int j = 0; j < primes.size() && i * primes[j] <= n; j++) {
            isPrime[i * primes[j]] = false;
            if (i % primes[j] == 0) {
                break;
            }
        }
    }
    return primes;
}

int main() {
    int n = 100;  // 这里可以修改n的值来获取不同范围内的素数
    vector<int> primeNumbers = eulerSieve(n);
    for (int prime : primeNumbers) {
        cout << prime << " ";
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

在这段代码中：

1. 初始化：创建一个布尔类型的数组isPrime，初始时都设为true，表示所有数都可能是素数。同时创建一个向量primes用于存储找到的素数。
2. 保存素数：外层循环从2到n遍历每个数i。如果i是素数（isPrime[i]为true），就将其加入到primes向量中。
3. 筛去合数：内层循环遍历已找到的素数primes[j]，将i * primes[j]标记为非素数（isPrime[i * primes[j]] = false）。当i能被primes[j]整除时就停止内层循环，这样可以保证每个合数只被其最小质因数筛一次，从而实现线性时间复杂度。