求N范围内的所有素数

最新推荐文章于 2023-05-14 13:32:22 发布

FancyKong666

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分类专栏：算法文章标签：素数筛法

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本文介绍了如何使用筛法求解N范围内的所有素数，通过避免不必要的枚举，优化到只需检查到i的平方根，从而提高效率。接着详细解释了筛法的实现原理，通过初始化一个布尔数组标记非素数，逐步排除倍数，最终得到所有素数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

筛法求N范围内的所有素数

问题引入

给定一个正整数N,求N范围内的所有素数

解法一枚举

思路就是从2开始,枚举所有小于N的数,判断是否是素数

for(int i = 2; i < N ; i++){
    if(isPrime(i)){
        System.out.print(i+" ");
    }
}

注意isPrime(i)的设计很重要
一般我们容易想到的是:

for(int j = 2; j<i ; j ++){
    if(i % j == 0){
        reutrn false;
    }
}
return true;

但是其实并不需要 j 并不需要枚举那么多 , 最多是 Math.ceil( $\sqrt i$
为什么呢? 我们可以用反证法来验证下:
假设 i不是素数,则必存在有一个数b 使 b*j == i;
如果 $b > \sqrt i$ , j > $\sqrt i$ , 则 $b*j > i$ 与 $b*j==i$ 矛盾

所以正确的代码应该是

int l = (int)Math.ceil(Math.sqrt(i));
for(int j = 2; j < l ; j++){
    if(i % j == 0){
        reutrn false;
    }
}
return true;

解法二筛法

其实原理很简单, 我们假设一开始小于N的全部整数都是素数,然后逐一排除掉,比如我们可以新开一个长度为N+1 的boolean[] isNotPrime; 用下标代表数,然后一开始数组都是false,我们从2开始遍历,依次把该元素的倍数都置成true,因为这些数的倍数都不是素数;这样到最后所有值为false的元素就是素数.

boolean isNotPrime[] = new boolean[N+1];
for(int i = 2;i < N+1 ; i++){
    if(!isNotPrime[i]){
        System.out.print(i+" ");
        for(int j = i*i,j < N+1 ; j += i){
            isNotPrime[j] = true;
        }
    }
}

这也算用内存换时间的一种