基本的素数测试 & 质因数分解

一、判断素数（基础版）：

通过从2到$\sqrt{(}n)$线性遍历的方法来判断一个数是否为素数：

#include <iostream>

bool isPrime(int n) {
    if (n <= 1) {
        return false;
    }
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

int main() {
    int num;
    std::cout << "请输入一个整数: ";
    std::cin >> num;
    if (isPrime(num)) {
        std::cout << num << " 是素数。" << std::endl;
    } else {
        std::cout << num << " 不是素数。" << std::endl;
    }
    return 0;
}

在这个程序中：

1. 边界：小于等于1的数不是素数
2. 条件：如果在遍历过程中发现n能被某个数整除，那么n不是素数，函数返回false。
3. 如果遍历完没有发现这样的数，则n是素数，函数返回true。

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二、分解质因数（基础版）：

从2开始依次去查找n的因数（后面可以配合素数的判断方法进行改进）

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

vector<int> primeFactorization(int n) {
    vector<int> factors;
    int divisor = 2;
    while (n >= 2) {
        if (n % divisor == 0) {
            factors.push_back(divisor);
            n = n / divisor;
        } else {
            divisor++;
        }
    }
    return factors;
}

int main() {
    int number;
    cout << "Enter a number to factorize: ";
    cin >> number;
    vector<int> result = primeFactorization(number);
    cout << "Prime factorization of " << number << " is: ";
    for (int i = 0; i < result.size(); i++) {
        cout << result[i];
        if (i!= result.size() - 1) {
            cout << " * ";
        }
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

在这段代码中：

1. primeFactorization函数：
   • 它接受一个整数n。
   • 从2开始作为除数，因为2是最小的质数。
   • 只要n大于等于2，就检查n是否能被当前除数divisor整除。如果能整除，就把divisor添加到factors向量中，并将n更新为n除以divisor的结果。如果不能整除，就增加divisor的值。

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三、分解质因数（优化版）

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

bool isPrime(int n) {
    if (n <= 1) {
        return false;
    }
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}
vector<int> primeFactorization(int n) {
    vector<int> factors;
    int divisor = 2;
    while (n >= 2) {
    	if(isPrime(n)){
    		factors.push_back(n);
    		break;
    	}
        if (n % divisor == 0) {
            factors.push_back(divisor);
            n = n / divisor;
        } else {
            divisor++;
        }
    }
    return factors;
}

int main() {
    int number;
    cout << "Enter a number to factorize: ";
    cin >> number;
    vector<int> result = primeFactorization(number);
    cout << "Prime factorization of " << number << " is: ";
    for (int i = 0; i < result.size(); i++) {
        cout << result[i];
        if (i!= result.size() - 1) {
            cout << " * ";
        }
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

在primeFactorization中，每次进行因数判断前，先判断当前的n是否为素数，如果时素数就放入结果数组并返回。